2016年认证杯SPSSPRO杯数学建模
D题 NBA是否有必要设立四分线
原题再现
NBA 联盟从 1946 年成立到今天，一路上经历过无数次规则上的变迁。有顺应民意、皆大欢喜的，比如 1973 年在技术统计中增加了抢断和盖帽数据；有应运而生、力挽狂澜的，比如 1954 年引入 24 秒进攻时限；有因人废事、“打击迫害”的，比如为了限制麦肯，将三秒区宽度从 6 英尺扩大到 12 英尺，又为了限制张伯伦，进一步扩大到 16 英尺；有步步为营、小心翼翼的，比如 2004年在 NBDL 试行所有投篮只算两分，直至第四节最后 5 分钟和加时赛才启用三分球规则；也有弄巧成拙、朝令夕改的，比如 1953 年曾规定每队每名球员单节只能犯规两次，第三次犯规就被罚出场，实施不久之后就不了了之……本质上，NBA 是一个以盈利为目的的商业联赛，为了最大限度地提升比赛观赏性，保证球迷们心甘情愿地掏钱买票，修改现有规则或设立新的规则都是可能的。
79-80 赛季，NBA 开始实验性的引入三分球制，当时的原则是“仅限于常规赛使用”。而在 80-81 赛季，NBA 正式全面引入三分线。目前，NBA 三分线的最远处距离篮筐是 7.25 米。值得注意的是 NBA 曾在 94-95 赛季将三分线距离缩短为 6.70 米，距离变短后人人都能投三分，很难反映出球员的远投能力，所以 97-98 赛季，NBA 又将三分线距离改回原来的 7.25 米。
四分线的推出能更全面反映出 1 名射手的远投能力。2015-2016 赛季，在28-32 英尺（8.53-9.75 米）之间，投篮最准的是快船队的贾马尔·克劳福德，总共 23 次出手命中 14 球，命中率高达 60.9%。排在第 2 位的是湖人队的肯道尔·马绍尔，23 投 11 中，命中率为 47.8%。勇士队的斯蒂芬·库里则以 38.1%（21 投 8 中）的命中率位列第 3 位。NBA 一旦引入四分球制度，投手的春天将就此到来。那些震撼联盟的神射手们又多了一项致命的武器。此外，四分球拉开空间之后，会让内线球员的防守压力变得更小，篮下的肉搏变得更少，更有利于内线的大个子们保持自己的健康。
第一阶段问题：
1. 请建立合理的数学模型，量化评估 NBA 是否应该引入四分线。
2. 如果让你负责设计四分线所在的位置，提出一个较为合理的方案。
整体求解过程概述(摘要)
本文针对 NBA 是否建立四分线的问题进行了模型研究，以 NBA 盈利效益最大化为目标函数，并运用多种求解方法，对模型进行求解，并得到合理的四分线所在位置方案。
问题一，对于题中是否引入四分线，我们首先利用数据分析法，发现四分球是衡量一支球队进攻能力强弱的重要指标之一。其次进一步举例阐述 NBA 明显在 28 至 32 英尺地带的投篮情况，数据转化后证明四分球比三分球收益有较大优势，最后利用层次分析法进一步验证引入四分线的必要。
问题二，为了更准确地确定四分线的位置，我们建立简单的物理模型。在 28-32 英尺（8.53-9.75 米）之间划分为五个距离区间，通过分析不同投篮区间情况下投篮命中率，来预测设立四分线的最佳位置方案。从出手角度，出手速度，出手高度之间的关系等方面综合考虑。建立 XOY 坐标系，求出四分线所在弧线轨迹。
最后，我们就 MATLAB 拟合曲线及其对应的残差图得出较为合理的四分线的位置，并画图说明。
问题分析：
现如今，NBA 比赛的走势瞬息万变，球员为了赢得比赛往往会选用分值较高的三分球来扩大或缩小分差。尤其是今年的勇士队，斯蒂芬·库里就是忠实的三分爱好者，你可以经常看到他投出远在接近半场或者球员通道的“三分球”。
显然，当三分球逐渐成为 NBA 比赛的主流，越来越多的球员愿意在三分线外甚至离三分线还有一段距离就出手，那么是不是应该在比赛中设立四分球规则？熟悉篮球的人会知道，在现在的比赛中，进攻方只会故意拖延时间，而其他球员则只懂站在篮下搏斗，而非尝试去得分。有时候短短一分钟的比赛可以被拉长到十分钟，这令比赛变得乏味。而且，联盟的平均身高也在不断上升，1952 年时球员平均身高为 1.93 米，体重为 195磅。现在，NBA 球员的平均尺寸约 2.01 米，体重为 219 磅。可见现在的球员比引入三分线前更高大、更强壮、更敏捷。
通过用数值分析法，我们仔细地研究了 NBA 近十年五支球队（图 1）三分命中率发现，实力各不相同的球队三分球命中率变化幅度不大，这样就无法显示出球队的远投能力。
设立四分线的目的很纯粹，就是让球员更好地发挥他们的天赋，并且增加球赛的观赏性，使 NBA 的总盈利达到最大化。
模型假设：
1.假设远投手不受非比赛因素的影响。
2.假设投手的体能投三分和投四分基本无变化。
3.假设投手不受投篮姿势的影响。
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
1.分析法当中的求解矩阵特征（MATLAB 程序）
＞＞clear all;
A=[1 7 2 3;1/7 1 2/5 1/2;1/2 5/2 1 3/7;1/3 2 7/3 1];
d=eig(A)
d=
0.8333+2.4438i
0.8333-2.4438i
＞＞[V,D]=eig(A)
2. v 为最小出手速度,MATLAB 求解，代码如下：
function v=fun(h);
H=3.05;
g=9.8;
L=8.53
v=sqrt(g*[H-h+sqrt(L^2+(H-h)^2)]);
fun(2.0)
ans =
9.722
fun(2.1)
ans =
9.665
fun(2.2)
ans =
9.609
3. 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度，MATLAB 求解，代码如下：
function f=fun1(v);
L=8.53;
H=3.05;
g=9.8;
h=1.8;
t=v^2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/(2*v^2))));
f=atan(t)/pi*180;
fun1(8.0)
ans =
40.566
