leetcode 704. 二分查找 | 简单难度

1. 题目详情

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

1. 原题链接

leetcode 704. 二分查找

2. 基础框架

● Cpp代码框架

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {

    }
};

2. 解题思路

1. 题目分析

$(1)$ 本题要在升序数组nums中查找目标值target；找到了就返回target所在位置下标，否则返回-1。
$(2)$ 暴力解法：啥都不考虑，直接从左向右遍历数组nums，找到了目标值target就返回其下标。如果遍历完数组nums还是没有找到就返回-1；
$(3)$ 暴力解法每次判断只能舍弃1个元素，时间复杂度是$O(n)$。

2. 算法原理

$(1)$ 优化暴力枚举：暴力解法没有考虑数组nums元素是有序的，我们我们根据这一规则看看能不能把数组分成两部分。
为了一般性，我们不使用具体的例子，而是假设一个长度为n的数组nums。
定位这个数组中任意位置的一个元素，假设下标为i，那么这个元素就是nums[i]。
nums[i]可以把数组nums分成左右两个部分吗？
很明显是可以的：[0, i -1]范围的元素都小于nusm[i]，[i + 1, n - 1]范围的元素都大于nums[i]。
至此，我们就根据升序数组的规则，每次都能把数组nums分成左右含义不同的两部分。

经过上述分析，我们可以在[0, n - 1]范围内任意找一个位置作为判断点，可是具体来说，找哪个位置效率最高呢？
是中点处？是三等分处？还是其他的？
可以证明的是，每次都找中点位置作为判断点效率是最高的$O(lo{g}_{2}n)$。

$(2)$ 二分：

1. 初始化左边界left = 0, 右边界right = n - 1;
2. mid = left + (right - left) / 2;
3. nums[mid] < target, left = mid + 1;
4. nums[mid] > target, right = mid - 1;
5. nums[mid] == target, 返回结果；
6. left <= right时一直进行2、3、4、5步；
   $(3)$ 其实循环条件也可以是left < right，此时循环结束时left和right一定是相同的（即left与right相遇位置），并且此位置没有进行判断，循环结束时额外判断一下即可。

3. 时间复杂度

二分 $O(lo{g}_{2}n)$

每次选取[left, right]范围中点，每次判断都能舍弃一半元素直到找到目标或找不到；
证明：
长度为n的数组，设经过x次折半后长度变为1。那么$2^x=n$，即$x=lo{g}_{2}n$

3. 代码实现

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l <= r){
            int mid = l + (r - l + 1) / 2;
            if(nums[mid] > target) r = mid - 1;
            else if(nums[mid] < target) l = mid + 1;
            else return mid;
        }
        return -1;
    }
};

4. 知识与收获

$(1)$ 二分的本质是根据题目规则（升序、非递减、连续等）找出二段性，即根据规则能把数组分成左右两个含义不同的区间。

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$The$ $End$