本文已收录至《数据结构(C/C++语言)》专栏！
作者：ARMCSKGT

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前言

前面我们学习了二叉树，普通的二叉树没有任何特殊性质，所以后面我们又学习了二叉搜索树，这种有序的结构一定程度上优化了二叉树的性能，但是普通的二叉搜索树在特殊情况下，例如插入序列从大到小有序时，二叉搜索树会退化成类似于链表的单支数，此时性能变为O(n)，为了解决这个问题，科学家在二叉搜索树的基础上再次进行升级，而有了我们现在常见的 AVL树 和 红黑树 ，本节我们将介绍AVL树的基础性质。

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正文

在介绍AVL树之前，如果你没有了解过 二叉搜索树 或 二叉树，请移步先了解前置知识！
本节介绍AVL树默认中序遍历为升序序列

AVL树的性质

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二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

简而言之，AVL树通过一个 平衡因子bf(右子树深度减去左子树深度) 来记录根节点左右子树深度的差，一般情况下，平衡因子只会有五种情况：

• 左子树比右子树深度高两层，此时平衡因子为 -2 ，此时需要对树进行旋转调整
• 左子树比右子树深度高一层，此时平衡因子为 -1
• 左子树与右子树深度相等，此时平衡因子为 0
• 左子树比右子树深度低一层，此时平衡因子为 1
• 左子树比右子树深度低两层，此时平衡因子为 2 ，此时需要对树进行旋转调整

综上，如果二叉搜索树具备以下性质，则为AVL树：

• 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过 1
• 它的左右子树都是 AVL 树

AVL树结构（节点上的数字就是平衡因子）：

这颗树没有出现不平衡的情况，每个节点的平衡因子的绝对值不超过2。

这样看来，AVL树是一颗高度平衡的二叉搜索树，如果AVL树有N个节点，则AVL树的高度为${\log }_n$，此时找到任意节点的时间复杂度都是O(${\log }_{2}N$)。

我们学习AVL树主要是研究其插入节点后如何保持平衡的思想！

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AVL树的定义

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AVL树在二叉树的基础上，增加了一个指针指向了父节点以及一个平衡因子，所以AVL树是三叉链结构！

节点定义代码：

#include <iostream>

template<class K,class V>
struct TreeNode
{
	TreeNode<K, V>*  _left;     // 左子树
	TreeNode<K, V>*  _right;	// 右子树
	TreeNode<K, V>*  _parent;   // 父节点
	std::pair<K, V>  _val;      // 节点键值对(节点值)
	int              _bf;	    // 平衡因子

	TreeNode()
		:_left  (nullptr)
		,_right (nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_val(pair<K,V>())
		,_bf(0)
	{}

	TreeNode(const pair<K,V>& val)
		:_left   (nullptr)
		, _right (nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _val(val)
		, _bf(0)
	{}

	TreeNode(const K& key,const V& val)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _val({key,val})
		, _bf(0)
	{}
};

AVL树的定义比较简单，只需要一个根节点_root记录即可。
但是为了我们可以控制对比的函数，以便随我们指定的方式去插入，就像sort函数一样，可以通过仿函数控制升序和降序排序，所以我们还需要一个模板参数去作为比较函数！
AVL树定义：

//仿函数控制比较方式
template<class T> //升序
struct less { bool operator()(const T& left, const T& right) { return left < right; } };
template<class T> //降序
struct greater { bool operator()(const T& left, const T& right) { return left > right; } };

//AVL树定义 默认升序(按中序输出序列)
template<class K, class V, class Compare = less<K>>
class AVLTree
{
	typedef std::pair<K, V> val_type; //值类型
	typedef TreeNode<K, V>  Node;     //节点类型
public:
	AVLTree() :_root(nullptr), _size(0) {}

private:
	Node*   _root; //根节点
	size_t  _size; //节点数量
	Compare _com;  //比较函数
};

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AVL树的插入函数

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在二叉搜索树的插入函数基础上，AVL树的插入操作还需要对父节点的平衡因子进行调节，并在失衡的根节点处进行旋转调整。

AVL树插入流程：

• 如果是第一次插入节点，直接赋值给 _root 作为根节点，_size+1。
• 将插入值的key与当前节点值传入 _com函数 中对比，当函数返回true时向左子树走，返回false时向右子树走，如果走到空则跳出准备插入，如果相等则返回当前节点值。
• 根据节点值与插入值key在_com函数中的对比结果，决定插入到父节点的左子树还是右子树。
• 调整父节点的平衡因子，如果出现失衡（平衡因子绝对值为2）则进行旋转，并依次向上继续调整祖父节点，直到当前父节点平衡因子为0或节点为树的根节点为止。
• _size+1并返回插入结果。
  

关于AVL树的返回值：AVL树返回值为 pair<val_type,bool>，当插入成功在返回节点值的同时并返回true，当插入失败(遇到相等值节点时)返回false。

插入函数代码：

//插入函数
pair<val_type, bool> insert(const val_type& data)
{
	//首次插入特殊处理
	if (nullptr == _root)
	{
		Node* newnode = new Node(data);
		_root = newnode;
		++_size;
		return { data,true };
	}

	//寻找合适的插入位置
	Node* newnode = new Node(data);
	Node* parent = _root;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (_com(data.first, cur->_val.first))      // <
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (_com(cur->_val.first, data.first)) // >
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		//找到相同值节点 返回false和节点值
		else return { data,false};                 // ==
	}

	//将新节点插入所寻找的父节点下
	if (_com(data.first, parent->_val.first)) parent->_left = newnode;
	else parent->_right = newnode;
	newnode->_parent = parent;
	cur = newnode;

	while (parent)
	{
		//调整父节点平衡因子
		if (parent->_left == cur) --(parent->_bf);
		else if (parent->_right == cur) ++(parent->_bf);

		//调整和旋转
		if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			parent = parent->_parent;
			cur = cur->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 0) break;
		else //开始调整和旋转
		{
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) RotateR(parent);    //右单旋
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) RotateL(parent); //左单旋
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) RotateLR(parent); //左右旋
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) RotateRL(parent); //右左旋
			else { assert(false); }
		}
	}
	++_size;
	return { data,true };
}

关于节点调整流程：

关于旋转调整节点，我们接下来进行详细探究！

关于需要调整的情况，一共可以分为四大类：

是否旋转，取决于parent和cur节点的平衡因子：

parent(父节点)平衡因子	cur(子节点)平衡因子	操作
-2	-1	右单旋
2	1	左单旋
-2	1	左右双旋
2	-1	右左双旋

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左单旋

当根节点的右子树平衡因子为1的情况下，仍然向右子树中插入比右子树节点值大的节点，此时就会导致根节点平衡因子为2，右子树平衡因子为1，此时就需要左单旋。

当我们向20节点的右子树中插入35时，35是该树中的最大节点，便会插入在最右节点，此时30节点的平衡因子变为1，25节点则变为2，需要对其进行左单旋。

左单旋的函数代码：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	//parent右子节点
	Node* childR = parent->_right;
	//parent右子节点的左子节点
	Node* childRL = childR->_left;
	//parent右子节点的右子节点
	Node* childRR = childR->_right;
	//parent节点的父节点
	Node* pparent = parent->_parent;

	//parent节点的右指向childR的左子树
	parent->_right = childRL;
	//如果childRL节点存在 则链接与parent节点的关系 否则parent->_right指向空
	if (childRL) childRL->_parent = parent;
	//将childR的左指向parent 构建链接关系
	childR->_left = parent;
	parent->_parent = childR;

	//与pparent构建链接关系 如果pparent为_root根节点 则设置_root
	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = childR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else //否则查看原parent节点是pparent的左还是右子树 插入原parent位置
	{
		if (pparent->_left = parent) pparent->_left = childR;
		else pparent->_right = childR;

		childR->_parent = pparent;
	}
	//更新受影响节点的平衡因子
	parent->_bf = childR->_bf = 0;
}

旋转过程简而言之就是更改节点的链接关系，使其深度降低！

对于上面图中的树，我们根据左单旋进行调整：

左单旋过程梳理：

• parent节点与childRL节点构建链接关系
• childR节点的左子树置为parent，并相互构建链接关系
• 判断pparent是否为空，不为空则将childR与pparent构建链接关系
• 将parent节点与childR节点的平衡因子置为0

注意：这里在构建链接关系时，一定要注意构建与父节点的关系，容易忘记；childRL节点可能为空，如果为空则不需要与其新父节点(parent)构建链接关系，需要if判断！

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右单旋

当根节点的左子树平衡因子为-1的情况下，仍然向左子树中插入比左子树节点值小的节点，此时就会导致根节点平衡因子为-2，左子树平衡因子为-1，此时就需要右单旋。

右单旋与左单旋相似，只不过指针的调整方式不同。
当节点3插入后，节点10的平衡因子(左右子树高度差为2)为-2，此时插入的节点位于左子树的左侧，此时需要右旋转。

右单旋的函数代码：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* childL = parent->_left;
	Node* childLL = childL->_left;
	Node* childLR = childL->_right;
	Node* pparent = parent->_parent;

	parent->_left = childLR;
	if (childLR) childLR->_parent = parent;
	childL->_right = parent;
	parent->_parent = childL;

	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = childL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent->_left == parent) pparent->_left = childL;
		else pparent->_right = childL;

		childL->_parent = pparent;
	}
	parent->_bf = childL->_bf = 0;
}

对于上面图中的树，我们根据右单旋进行调整：

右单旋过程梳理：

• parent节点与childLR节点构建链接关系
• childL节点的右子树置为parent，并相互构建链接关系
• 判断pparent是否为空，不为空则将childL与pparent构建链接关系
• 将parent节点与childL节点的平衡因子置为0

注意：这里在构建链接关系时，一定要注意构建与父节点的关系，容易忘记；childLR节点可能为空，如果为空则不需要与其新父节点(parent)构建链接关系，需要if判断！

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右左双旋

当我们将值插入(高度差为1的树时)右子树右侧时会引发左单旋，当插入左子树左侧时会引发右单旋。

相反，如果将值插入右子树左侧或左子树右侧，则会引发双旋。
如果插入的是右子树左侧，此时parent平衡因子为，那么单旋就不能解决问题了，此时需要右左双旋，详细解释就是先 进行右单旋 再进行左单旋，这样才能降低高度。

关于以下情况，就是需要进行右左双旋：

右左双旋代码：

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* childR  = parent->_right;
	Node* childRL = childR->_left;
	int bf = childRL->_bf;

	RotateR(childR);
	RotateL(parent);

	/*
			A
		B        C
			    D
			  E
	*/
	if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		childR->_bf = 1;
		childRL->_bf = 0;
	}
	/*
			A
		B        C
			    D
			     E
	*/
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		childR->_bf = 0;
		childRL->_bf = 0;
	}
	/*
		A
		    B
		  C
	*/
	else if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		childR->_bf = 0;
		childRL->_bf = 0;
	}
	//如果出现其他情况，则表示代码有问题，需要检查
	else assert(false);
}

关于右左双旋，可以结合下图理解(三列情况，对应三种不同的平衡因子调整)：

关于右左双旋的过程：

• 先确定parent和childR和childRL节点
• 对childR进行右单旋(将childRL变成childR的父节点)
• 对parent进行左单旋(再将childRL变成childR的父节点)
• 调整parent,childR和childRL节点的平衡因子(根据childRL节点平衡因子调整)

关于节点平衡因子的调整，从上图看出来，需要根据childRL节点来进行判断：

• 当childRL平衡因子为 0 ：parent的平衡因子调整为0，childR的平衡因子调整为0，childRL平衡因子调整为0。
• 当childRL平衡因子为 -1 ：parent的平衡因子调整为0，childR的平衡因子调整为1，childRL平衡因子调整为0。
• 当childRL平衡因子为 1 ：parent的平衡因子调整为-1，childR的平衡因子调整为0，childRL平衡因子调整为0。

注意：右左双旋中，对childR进行右单旋转再对parent进行左单旋，这个顺序不能颠倒，且平衡因子的调整必须根据childRL平衡因子进行调整。

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左右双旋

当节点插入到左子树的右侧时，此时parent平衡因子为-2且childR平衡因子为1，此时需要左右双旋，即需要 先进行左单旋，再进行右单旋 才能降低高度。

关于以下插入情况，此时的树需要进行左右双旋：

左右双旋代码：

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* childL  = parent->_left;
	Node* childLR = childL->_right;
	int bf = childLR->_bf;

	RotateL(childL);
	RotateR(parent);

	/*
				A
			B		C
		D		E
			  F
	*/
	if (bf == -1)
	{
		childL->_bf = 0;
		childLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	/*
				A
			B		 C
		D	  E
			   F
	*/
	else if (bf == 1)
	{
		childL->_bf = -1;
		childLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	/*
	*	   A
	*	B
	*	  C
	*/
	else if (bf == 0)
	{
		childL->_bf = 0;
		childLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	//如果出现其他情况，则表示代码有问题，需要检查
	else assert(false);
}

关于右左双旋，可以结合下图理解(三列情况，对应三种不同的平衡因子调整)：

关于左右双旋的过程：

• 先确定parent和childL和childLR节点
• 对childL进行左单旋(将childLR变成childL的父节点)
• 对parent进行右单旋(再将childLR变成parent的父节点)
• 调整parent,childL和childLR节点的平衡因子(根据childLR节点平衡因子调整)

关于节点平衡因子的调整，从上图看出来，需要根据childRL节点来进行判断：

• 当childLR平衡因子为 0 ：parent的平衡因子调整为0，childL的平衡因子调整为0，childLR平衡因子调整为0。
• 当childLR平衡因子为 -1 ：parent的平衡因子调整为1，childL的平衡因子调整为0，childLR平衡因子调整为0。
• 当childLR平衡因子为 1 ：parent的平衡因子调整为0，childL的平衡因子调整为-1，childLR平衡因子调整为0。

注意：左右双旋中，对childL进行右单旋转再对parent进行左单旋，这个顺序不能颠倒，且平衡因子的调整必须根据childLR平衡因子进行调整。

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AVL树主要值得学习的地方就在插入，学习其控制树的高度差的思想和旋转思想。

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检验AVL树的合法性

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检验AVL树是否合格（是否没有bug），还需要从其定义入手。

空树是满足AVL树性质，且满足以下条件，则是AVL树：

• 右子树减去左子树深度的绝对值不超过1
• 右子树减去左子树深度等于根节点平衡因子
• 每棵子树都满足该条件

以上条件满足任意一个，就是AVL树。

我们代码实现采用递归方式，在类中需要写一个递归函数再进行封装！

代码实现：

//检查AVL树合法性-调用函数
bool isAVL() { return _isAVL(_root); }

//获取AVL树高度-调用函数
int getHigh() { return _getHigh(_root); }

//检查AVL树合法性-执行函数
bool _isAVL(Node* root)
{
	if (root == nullptr) return true;
	//获取左右子树高度
	int left = _getHigh(root->_left);
	int right = _getHigh(root->_right);
	//如果右子树减左子树高度差的绝对值小于1 且差值与根的平衡因子相等 就继续检查子树
	if (abs(right - left) <= 1 && (right - left) == root->_bf) return true && _isAVL(root->_left) && >_isAVL(root->_right);
	return false;
}

//获取树的深度-执行函数
int _getHigh(Node* root)
{
	if (root == nullptr) return 0;
	int left = _getHigh(root->_left);
	int right = _getHigh(root->_right);
	return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

测试代码：

int main()
{
   const int N = 10000;
   AVLTree::AVLTree<int,int> t;
   for (int i = 0; i <= N; ++i) t.insert({i,i});
   if (t.isAVL()) cout << "合法" << endl;
   else cout << "不合法" << endl;
   cout << "树高度：" << t.getHigh() << endl;
   return 0;
}

我们插入10001个节点，此时树合法且高度为14！
$$2^{13}=8192，2^{14}=16384$$
通过对高度的平方运算，结果符合要求！

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关于AVL树

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AVL树是一棵对身材要求及其严格的树，时时刻刻要求自己左右接近对称(左右高度差不超过1)。

AVL树的优缺点：

• 优点： 因为其严格的要求，当树中稍微出现退化趋势就会立刻被调整，所以对于AVL树的查询时间非常快，约为$lo{g}_{2}N$。
• 缺点： 因为其严格的条件，导致AVL树在碰到有序序列时可能会频繁旋转调整，在删除情况下更是有可能一直调整到根节点，因为频繁旋转非常浪费性能，所以导致插入效率下降。

AVL树的使用场景：

AVL树严格的平衡条件，导致其查询效率极高，在不频繁增删的情况下，也就是静态树(只查只读) 的情况下，使用AVL树会的查询效率是极好的，但是在很多场景中，增删查改是并存的，此时我们不得不考虑摒弃一些查询时间去弥补插入删除的效率，也就是需要一棵与AVL树差不多，但是没有AVL树要求这么严格的二叉搜索树，这棵树就是红黑树，红黑树可以做的比AVL树调整次数少的情况下，性能差距不超过2倍，下一节我们将介绍红黑树！

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最后

AVL树的介绍到这里就差不多了，我们首先说明了二叉搜索树的缺点，引入AVL树对其进行强化，AVL树的复杂之处在于其旋转调整，所以我们通过AVL树的插入介绍旋转调整，至于删除操作相对于插入函数更加复杂，有兴趣的小伙伴可以了解，对于AVL树的基本性质就是这些了！

本次 <AVL树> 就先介绍到这里啦，希望能够尽可能帮助到大家。

如果文章中有瑕疵，还请各位大佬细心点评和留言，我将立即修补错误，谢谢！

本节涉及代码：AVL树博客代码

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