回溯法说来简单，写起来难，真的是要愁死。

回溯法有两种模板--子集树、排列树

5.4符号三角形--dfs

计算多少个满足条件的符号三角形，同号下面为“+”，异号下面为“-”。

根据异或的规则我们令“+”=0，“-”=1，(异或的运算规则：相同取0，相异取1）正好异或的规则满足题意，并且方便计数。

我们知道，第一行的符号确定了，后面的都确定了。所以需要遍历第一行的所有的“+”号和“-”号。

第一行一共有n和符号，变幻每个位置的符号，就是个叶子。

观察发现：满足条件的所有三角形中除了初始n=3个字符的三角形，其他所有满足结果要求的子三角形中，+和-的个数都是相同的。（但是最后输出的时候n=3有四种结果，也是对的，不知道为什么我第一次想的时候，这个n=3怎么不对了，可能是脑子有点小毛病）

下面列出n=3的四种情况

回溯的主要思想：

用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行的n个符号，当x[i]=1时，表示符号三角形的第一行的第i个符号为“+”;当x[i]=0时，表示符号三角形的第一行的第i个符号为“-”；1<=i<=n。

由于x[i]是二值的。所以在用回溯法解符号三角形问题时，可以用一棵完全二叉树来表示其解空间。

在符号三角形的第一行的前i个符号x[1:i]确定后，就确定了一个有i(i+1)/2个符号组成的符号三角形。

下一步确定x[i+1]的值后，只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边，就可以拓展为x[1:i+1]所对应的符号三角形。最终由x[1:n]所确定的符号三角形包含的“+”个数与“-”同为n(n+1)/4.

因此，在回溯可将“+”、“-”个数均不超过n(n+1)/4为约束条件。

同时，对于给定的n当n(n+1)/2为奇数时，显然不存在“+”和“-”个数相同的符号三角形。

剪枝：不等的直接return，如果cnt>half || (t*(t-1)/2-cnt)>half，当前的第一行第t个符号以前所对应的三角形，减号的个数大于一半了或者是加号的个数大于一半了都直接return。另外一个是要特判初始的总数，奇数肯定是不行的。

然后注意回溯的时候对sum值进行修改。剩下的就是dfs深度优先搜索的功底了。

#include <iostream>
using namespace std;
int n;//n行，第一行有n个元素 
int sum=0;//记录满足题意的数
int half;//n*(n+1)/4 
int cnt;//'-'的个数
int p[100][100]; //符号三角形矩阵 
//输出结果
void Output(){
    cout<<"------------\n";
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
            cout<<p[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    //为了形象看结果，还可以这样输出
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int k=1;k<=i;k++){
            cout << " ";
        }
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
            if(p[i][j]==0) cout << "+" << " ";
            else if (p[i][j]=1) cout << "-" << " ";
        }
        cout << endl;
    }
} 
//dfs主函数
void BackTrack(int t){ //第t行 
//    cout<<"cnt="<<cnt<<" half="<<half<<endl;
    if(cnt>half || (t*(t-1)/2-cnt)>half) return;//如果加号和减号不相等直接return
    //搜索到了叶子，生成了第n个符号，又是一个满足条件的符号三角形
    if(t>n){
        Output(); 
        sum++;    
    }
    else{
    //第一行的第t个叶子，试探，两种结果: 符号三角形的矩阵 p[1][t] = 0 和 p[1][t] = 1;
        for(int i=0;i<=1;i++){
            p[1][t] = i;
            cnt += i;//'-'的个数
            //计算前t个叶子以及他们对应的符号三角形的"+""-"号，相同为"+"=0,相异取"-"=1
            for(int j=2;j<=t;j++){
                p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1] ^ p[j-1][t-j+2];//^相同取0，不同取1 
                cnt+=p[j][t-j+1];
            }
            BackTrack(t+1);
            //撤销操作，换源回溯现场，以便下一次回溯
            for(int j=2;j<=t;j++){
                cnt-=p[j][t-j+1];
            } 
            cnt -= i;
        }
    }
} 
int main(){
//    cin>>n;
    n=4;
    half=n*(n+1)/2;//共有n*(n+1)/2个符号 
    
    if(half%2==1){  //奇数个符号的话，不存在'+'的个数等于'-'的个数 
        cout<<"无解\n";
    }
    else{
        half=half/2;
        BackTrack(1);
        cout<<"sum="<<sum<<endl;
    }

    return 0;
} 
//为了方便调试，令n=4