动态规划章节理论基础：
https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html
343. 整数拆分
题目链接：https://leetcode.cn/problems/integer-break/
思路：
动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
（2）确定递归公式
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)。
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
（3）dp数组初始化
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
（4）确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
更优化一步，可以这样：
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
（5）举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
代码：
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
int[]dp = new int[n+1];
//dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=1; j <= i/2;j++){
dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
}
96.不同的二叉搜索树
题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/
思路：
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
（2）确定递归公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
（3）dp数组初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
所以初始化dp[0] = 1
（4）确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
（5）举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的
代码：
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[]dp = new int[n+1];
dp[0] = 1;
for(int i=1 ;i<=n;i++){
for(int j=1; j<=i ;j++){
dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
}
