1.概述

（1）差分数组的思想与前缀和算法的非常近似（有关前置和算法的具体细节可以参考前缀和算法这篇文章），其主要适用于频繁地对原始数组的某个区间的元素进行加减操作。

（2）例如，给定原始数组 nums = {1, 3, -3, 4, 0, 2, 5}，现在需要将区间 nums[1…3] 中的元素先全部加 2，然后再将区间 nums[2…5] 中的全部元素减 3，再将区间 nums[3…4] 中的元素全部减 2 等一系列操作，最后问数组 nums 中的元素是多少？

常规思路比较容易想到，如果将区间 nums[1…3] 中的元素先全部加 2，那么直接使用 for 循环对该区间中的元素进行加 2 即可，其余地操作类似，但是这样需要进行多次时间复杂度为 O(n) 的操作，效率比较低。
而如果使用差分数组，则会较大地提高效率，话不多说，直接查看下面的实现代码。

2.代码实现

（1）实现代码如下：

class DiffArray {
    //差分数组 diff
    private int[] diff;
    
    //构造差分数组 diff
    public DiffArray(int[] nums) {
        // diff[i] = nums[i] - nums[i - 1]
        diff = new int[nums.length];
        diff[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
        }
    }
    
    //通过差分数组 diff 得到原数组 nums
    public int[] getNums() {
        int[] nums = new int[diff.length];
        nums[0] = diff[0];
        for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
            nums[i] = nums[i - 1] + diff[i];
        }
        return nums;
    }
    
    //给闭区间 nums[i...j] 中的全部元素加 val (可以是负数)
    public void increase(int i, int j, int val) {
        diff[i] += val;
        //如果 j+1 >= diff.length，说明是对 nums[i] 及以后的整个数组都进行修改，那么就不需要再给 diff 数组减 val 了
        if (j + 1 < diff.length) {
            diff[j + 1] -= val;
        }
    }
}

（2）下面对代码中一些细节进行说明：

构造差分数组 diff 时，当 i = 0 时，diff[0] = nums[0]；否则 diff[i] 记录 nums[i] 与 nums[i - 1] 之差，如下图所示：

在这里插入图片描述

通过差分数组 diff 得到原数组 nums 时，当 i = 0 时，nums[0] = diff[0]；否则，由 diff[i] = nums[i] - nums[i - 1] 可知 nums[i] = diff[i] + nums[i - 1]，因此可以通过差分数组 diff 来倒推得到原数组 nums。
如果想对区间 nums[i…j] 中的全部元素都加 3，那么只需要让 diff[i] += 3，然后再让 diff[j+1] -= 3 即可。

在这里插入图片描述

原理如下：在通过差分数组 diff 倒推数组 nums 的过程中，diff[i] += 3 表示给 nums[i…] 所有的元素都加了 3，diff[j+1] -= 3 又意味着对于 nums[j+1…] 所有元素再减 3，那么将两者结合起来，就是对 nums[i…j] 中的所有元素都加 3 了。当频繁地对数组 nums 的某个区间的元素进行加减操作时，只要花费 O(1) 的时间修改 diff 数组，就相当于给 nums 的整个区间做了修改。多次修改 diff 后，再通过 diff 倒推，即可得到数组 nums 修改后的结果。

3.应用

（1）有些算法题可能需要对题目进行分析，从题目中抽象出需要频繁操作的区间，从而再使用差分数组来解题，例如 LeetCode 中的1109.航班预订统计这题，就需要对题目进行仔细分析：

在这里插入图片描述

将本题翻译一下：给定一个长度为 n 的数组 nums，初始时其中的所有元素都是 0。然后再给定一个二维数组 bookings，里面是若干三元组(i, j, k)，每个三元组的含义就是要求给 nums 数组的闭区间 [i - 1, j - 1] 中所有元素都加上 k，返回修改后的数组 nums。具体的实现代码如下：

class Solution {
    public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
        int[] nums = new int[n];
        DiffArray df = new DiffArray(nums);
        for (int[] booking : bookings) {
            int i = booking[0] - 1;
            int j = booking[1] - 1;
            int val = booking[2];
            //将区间 nums[i...j] 内的所有元素增加 val
            df.increase(i, j, val);
        }
        return df.getNums();
    }
}

class DiffArray {
    //差分数组 diff
    private int[] diff;
    
    //构造差分数组 diff
    public DiffArray(int[] nums) {
        // diff[i] = nums[i] - nums[i - 1]
        diff = new int[nums.length];
        diff[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
        }
    }
    
    //通过差分数组 diff 得到原数组 nums
    public int[] getNums() {
        int[] nums = new int[diff.length];
        nums[0] = diff[0];
        for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
            nums[i] = nums[i - 1] + diff[i];
        }
        return nums;
    }
    
    //给闭区间 nums[i...j] 中的全部元素加 val (可以是负数)
    public void increase(int i, int j, int val) {
        diff[i] += val;
        //如果 j+1 >= diff.length，说明是对 nums[i] 及以后的整个数组都进行修改，那么就不需要再给 diff 数组减 val 了
        if (j + 1 < diff.length) {
            diff[j + 1] -= val;
        }
    }
}