【算法杂货铺】二分算法

🌈前言🌈

📁 朴素二分查找

📂 朴素二分模板

📁 查找区间端点处

细节（重要）

📂 区间左端点处模板

📂 区间右端点处模板

📁 习题

1. 35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

2. 69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

3.153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

4. LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

5. 852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

6.162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

📁 总结

🌈前言🌈

欢迎观看本期【算法杂货铺】，本期内容将讲解基础算法中的——二分算法。二分查找算法，就是利用二段性，将问题划分成两个区间，去掉一个区间，在另一个区间查找答案。

二分查找是有模板供大家使用的，即背下模板，只需要略微修改即可，但本文旨在理解这些模板。

本篇文章通过讲解例题，带大家快速了解二分算法，分为3步，讲解各个二分算法。1. 题目解析；2. 算法思路；3. 代码展示。

📁 朴素二分查找

704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

1. 题目解析

相信有一点语言基础的人都会这道题目，我们只需要遍历一遍这个数组即可，如果找到范围下标，没有找到返回-1，但是这种暴力解法，时间复杂度是O(N)。

这里我们还有一个初始条件没有用到，即n个元素使有序的（升序）。

2. 算法原理

上图中，我们通过在一个数组中查找7，给大家展示了二分算法的基本思路。即根据某种规则，将区间划分成两端，再根据规则，舍去一端区间，在另一端区间内查找。

结束条件：

当 left > right 的时候，不存在区间，循环结束。为什么left可以等于right呢，当只有1个元素的时候，也是要查找的 , 即 (left + right )/2 = right = left 的。

为什么是正确的：

二分算法是利用二段行进行查找的，这道题的二段性体现在数组是有序的。在暴力算法中，我们是一个个比较的，在二分算法中，我们是按区间比较的，即[ left , mid-1 ] 和 [ mid+1 , right]。

时间复杂度：

我们只需要看循环了多少次即可，只要left <= right的时候，就进循环，当问题规模n就除2。

当left == right的时候，数组中只剩下一个元素，所以执行x次后，问题规模就为1。

3. 代码展示

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {

        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        while(left <= right)
        {
            //优化：防止溢出
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(nums[mid] == target)
            {
                return mid;
            }
            else if(nums[mid] > target)
            {
                right = mid - 1;
            }
            else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
};

📂 朴素二分模板

while(left <= right)
{
    //优化：防止溢出
    int mid = left + (right - left)/2
    if(...)
        left = mid + 1;
    else if(...)
        right = mid - 1;
    else
        return mid;
}

mid = left + (right - left) /2 是进行了优化的，因为当left 和 right都很大时，很容易超出int类型的范围。mid = left + (right - left + 1) / 2在朴素二分模板中也是可以的。

+1的区别在于，偶数个数时，是向上取整，还是向下取整。

向下取整：left + ( right - left ) / 2

向下取整：left + (right - left + 1) / 2

📁 查找区间端点处

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

1. 题目解析

依旧先从简单看起，暴力解法就是先从前往后遍历，找到第一个位置，如果找到，接着从后往前遍历，查找最后一个位置，范围begin和end。否则返回-1，-1。

暴力解法的时间复杂度是O(N)的，但题目要求我们在O(logN)的时间复杂度。在基础算法中，很少有算法能优化的logN，二分算法就是其中之一。

这道题目也是一道非常经典的二分查找算法，即查找区间的左端点，和区间的右端点。

2. 算法原理

用的还是二分算法，即二段行，根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二（不一定是有序，有二段性即可。）舍去一个区间，在另一个区间内查找。

寻找左端点思路：

左区间：[ left , result - 1 ] 都是严格小于 t 的。

右区间: [ result , right ] 都是严格大于等于 t 的。

因此，关于mid的落点，我们可以分为下面这两种情况：

1. 当 mid 落在[ left , result - 1 ] 区间的时候，即 nums[mid] < t 。说明 [left , mid ]都是可以舍去的，此时更新left到mid+1的位置，继续在 [ mid +1 , right] 上寻找左边界。

2. 当mid 落在[result , right]区间的时候，即 nums[mid] >= t。说明[mid +1 ,right]的区间可以社区（mid可能是最终结果，也可能不是），继续在[left,mid]上查找左端点。

注意的是，寻找左端点时，采用向下取整。

左指针的变化：left = mid + 1,区间逐渐减少。

右指针的变化：right = mid ，可能会原地踏步。如果采用向上取整，可能会死循环，例如：t = 2 , mid = left + (right - left + 1)/2的话，right = mid，mid = right陷入死循环。

//查找区间左端点
int left =0;
int right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
      int mid = left + (right - left)/2;
      if(nums[mid] >= target)
      {
          right = mid;
      }
      else
      {
          left = mid + 1;
      }
}

寻找右端点思路：

左区间：[ left , result ] 都是严格小于等与t的。

右区间：[ result+1 ， right ] 都是严格大于t的。

1. 当mid落在左区间时，mid可能是最终结果，也可能不是，所以 left = mid，舍去区间[left,mid -1]。继续在区间[ mid , right]区间内查找。

2. 当mid落在右区间时，可以舍去[mid , right]的区间，right = mid - 1。继续在区间[ left , mid -1 ]内查找。

注意的是，寻找右端点时，采用向上取整：

右指针的变化：right = mid - 1，区间逐渐减少。

左指针的变化：left = mid，可能会原地踏步，采用向下取整，可能会陷入死循环。例如：t =1 ,mid = left + (right - left) / 2

//查找区间右端点
left = 0;
right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
      int mid = left +(right-left+1)/2;
      if(nums[mid] <= target)
      {
          left = mid;
      }
      else
      {
          right = mid -1;
      }
}

细节（重要）

（1）循环条件

left < right。我们以寻找右端点为例：

left的工作区间就是在小于等于t这个区间；right的工作区间就是在大于t这个区间。因为right = mid - 1,所以right跳出工作区间时，一定是在right == left的位置。

所以不需要判断right是否等于left，是一定等于的。

（2）求中点操作

其实，我们只需要记住，下面有-1的时候，上面就有+1,。其他的结合题意给出二段行的判断条件。

3. 代码展示

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums.size() == 0)
        {
            return {-1,-1};
        }

        //查找区间左端点
        int left =0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(nums[mid] >= target)
            {
                right = mid;
            }
            else
            {
                left = mid + 1;
            }
        }
        if(nums[left] != target)
        {
            return {-1,-1};
        }

        int begin = left;

        //查找区间右端点
        left = 0;
        right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left +(right-left+1)/2;
            if(nums[mid] <= target)
            {
                left = mid;
            }
            else
            {
                right = mid -1;
            }
        }
        int end = right;
        return {begin,end};
    }
};

📂 区间左端点处模板

while(left < right)
{
    int mid = left + (right - left)/2;
    if(...) 
        left = mid + 1;
    else
        right = mid;
}

📂 区间右端点处模板

while(left < right)
{
    int mid = left + (right - left)/2;
    if(...) 
        left = mid;
    else
        right = mid - 1;
}

以上，就将二分算法的所有知识点讲解完毕，其中朴素二分模板是容易理解的，后面两个二分模板还是需要大家自己画图不断加强理解的。

下面，我们通过几道习题加强理解。对于习题，不会再过多讲解知识点内容，而是直接给出题解思路，并配图加强理解和做题能力。

📁 习题

1. 35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

我们通过画图，可以看出来，这是一道非常经典的查找区间左端点的题，找到大于等于t的第一个点即可。

如果t不存在在数组中，则返回left+1（left 经过循环来到right这个位置，即最后一个位置）

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] >= target)
                right = mid;
            else
                left = mid + 1;
        }
        return nums[left] < target ? left + 1:left;
    }
};

2. 69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

其实这道题，你用二分查找左端点，或者查找右端点都可以做出来。这里我们就以查找右端点为例，当然，也会展示左端点的解法。

前面需要特殊判断x是否小于1，如果小于1，则返回0。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x < 1)
        {
            return 0;
        } 
        int left = 1;
        int right = x;
        while(left < right)
        {
            long long mid = left + (right - left + 1)/2;
            if(mid * mid <= x)
                left = mid;
            else
                right = mid - 1;
        }
        return right;
    }
};

以上是查找右端点的写法，当然也可以写成查找左端点。

不过因为，查找左端点，数值是会比查找右端点大的多，所以，left 和 right都采用 long long类型。最后判断一下，right的平方是否等于x，如果不等于返回right-1。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long long left = 0;
        long long right = x;
        while(left < right)
        {
            long long mid = left + (right - left) / 2;
            if(mid * mid < x)
            {
                left = mid + 1;
            }
            else    
            {
                right = mid;
            }
        }
        return right*right == x?right:right-1;
    }
};

这道题，可以很好的理解二分法，即一道题往往不止一种解决方法。

3.153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

通过题意，可以了解的是，旋转就是将最后一个元素移动到最开始的位置。此外，还有一个重要条件就是 互不相同。

那我们就可以利用互不相同，得出二段行，如下图所示。

因此，我么以D点的值为索引，

当mid落在区间[A,B]时，left = mid + 1。[A,B]区间内的点是严格大于D点的值。

当mid落在区间[C,D]时，right = mid。其中C点就是我们要求的点。C点的值是要个小于D点的值。当[C,D]区间内只有一个元素时，C点的值可能等于D点的值。

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int x = nums[nums.size()-1];
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left ) / 2;
            if(nums[mid] > x)
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                right = mid;
            }
        }
        return nums[right];
    }
};

4. LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

数组中，下标等于元素值，如果有一位同学缺席，那么它之后所有元素的下标就不等于元素的值。

因此，我们只需要查找左端点即可。

此外，这道题还需要注意的是，最后需要处理一下边界情况，如数组中仅有一个元素1，那么缺席的同学编号就是0；如果仅有一个元素0，那么缺席的同学编号为1。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) {
        int left = 0;
        int right = records.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(records[mid] == mid)
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                right = mid;
            }
        }
        return records[right] == right?right+1:right;
    }
};

5. 852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

这道题目，查找左端点或查找右端点都可以，这里我们就以查找右端点为例，不在讲解如何查找左端点，感兴趣可以自己实践一下。

当mid处于上升区间时，在[mid + 1， right]区间查找。

当mid处于下降区间时，在[left , mid - 1]区间查找。

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left =0;
        int right = arr.size() -1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(arr[mid] < arr[mid+1])
            {
                left = mid +1;
            }
            else
            {
                right = mid ;
            }
        }
        return right;
    }
};

6.162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

寻找⼆段性：

1. 当arr[mid] > arr[mid+1],左侧一定存在山峰，到[left,mid]寻找山峰。

2. 当arr[mid] < arr[mid+1],右侧一定存在山峰，到[mid+1,right]寻找。

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int left =0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left +  (right - left) / 2;

            if(nums[mid] < nums[mid+1])
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};