0 最短路径问题
- 战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到
A, B, C , D, E, F 六个村庄 - 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
- 问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离?
- 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
1 Dijkstra算法
- 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
- 以G点为起始点并标记为已访问,保持不动,原地操作:更新周围可直连顶点(A,B,E,F)到G的距离
- 拿到离G点距离小于极大值65535的顶点集,即(A,B,E,F),对这些顶点分别执行第2步操作
- 重复第2,3步,直到所有顶点都已访问
- 最终得到G点到其他顶点的最短距离
说明:主要广度优先搜索,同时定义三个变量:访问情况数组(用以标记顶点已访问)+前驱节点数组(用以输出最终的最短路径)+距离数组(表示出发点到各顶点的最短距离)
//迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
public class DijkstraAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
//邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;// 表示不可以连接
matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};
matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};
matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};
matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};
matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};
matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};
matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
graph.showGraph();
graph.djs(2);
}
}
class Graph {
private char[] vertex;
private int[][] matrix;
public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
}
public void showGraph() {
for (int[] ints : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
}
//dijkstra算法
public void djs(int index) {
//出发点为index
VisitedVertex vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
//更新出发点周围顶点的前驱,以及到周围顶点的距离,ABEF可联通
update(index,vv);
//分别走访可联通顶点,谁近先访问,ABEF
//第一轮因为ABEF距离更新了且未访问所以访问ABEF,update方法导致出发点到CD的距离更新,所以第二轮访问CD
for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
//访问未读且可联通(dis<65535)的顶点
int temp = vv.updateArr();
update(temp,vv);
}
//输出结果
vv.show();
}
//更新index顶点到周围顶点的距离以及更新周围顶点的前驱节点
//注意:更新了距离的下一步才是访问,这里先更新距离才表示哪些顶点可联通,为访问做好准备
public void update(int index, VisitedVertex vv) {
int len = 0;
for (int i = 0; i < matrix[index].length; i++) {
len = vv.getDis(index) + matrix[index][i];
if (!vv.isVisited(i) && len < vv.getDis(i)) {
vv.update(i, len);
vv.updatePre(i,index);
}
}
}
}
//已访问顶点集合
class VisitedVertex {
public int[] already_arr;//是否访问过
public int[] pre_visited;//前驱节点
public int[] dis;//出发点到其他顶点的距离
//构造器:初始化数组+出发点在各数组中的值
public VisitedVertex(int length, int index) {
already_arr = new int[length];
pre_visited = new int[length];
dis = new int[length];
Arrays.fill(dis, 65535);
Arrays.fill(pre_visited, -1);
dis[index] = 0;
already_arr[index] = 1;
}
//是否访问过
public boolean isVisited(int index) {
return already_arr[index] == 1;
}
//更新出发点到index的距离
public void update(int index, int length) {
dis[index] = length;
}
//返回距离
public int getDis(int index) {
return dis[index];
}
//更新前驱节点
public void updatePre(int index, int pre) {
pre_visited[index] = pre;
}
//访问未读但可联通(dis<65535)的顶点
public int updateArr() {
int min = 65535;
int index = -1;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
index = i;
}
}
already_arr[index] = 1;
return index;
}
//输出最后结果
//说明:这里出发点的前驱应做特殊处理,通过前驱数组可展示出发点到各顶点的最短路线
public void show() {
System.out.println();
//最短距离
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int count = 0;
for (int i : dis) {
if (i != 65535) {
System.out.print(vertex[count] + "("+i+") ");
} else {
System.out.println("N ");
}
count++;
}
//最短路线
System.out.println();
LinkedList<String> res = new LinkedList<>();
for (int i = 0; i < pre_visited.length; i++) {
res.addFirst("] ");
int j = i;
while (true) {
res.addFirst("->"+vertex[j] );
j = pre_visited[j];
if (j == -1) {
break;
}
}
res.addFirst("[");
}
for (String str : res) {
System.out.print(str);
}
}
}
