目录

认识并查集

经典应用:

应用场景

 并查集的操作

初始化 

代码实现 

合并 

代码实现 

查找

代码实现 

查找代码【图解】 

有多少个集（帮派）?

复杂度

查询的优化:路径压缩

【代码】用递归实现 

并查集:初始化、查找、合并代码 

蓝桥杯实战训练

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认识并查集

• 并查集（Disjoint Set) :一种非常精巧而实用的数据结构。
• 用于处理不相交集合的合并问题。

经典应用:

• 连通子图
• 最小生成树Kruskal算法
• 最近公共祖先

应用场景

        场景一：有n个人，他们属于不同的帮派;已知这些人的关系，例如1号、2号是朋友，1号、3号也是朋友，那么他们都属于一个帮派。问有多少帮派，每人属于哪个帮派。
用并查集可以很简洁地表示这个关系。

        场景二：有n个人一起吃饭，有些人互相认识。认识的人想坐在一起，而不想跟陌生人坐。
例如A认识B，B认识C，那么A、B、C会坐在张桌子上。给出认识的人，问需要多少张桌子。

 并查集的操作

• 初始化
• 合并
• 查找 

初始化 

• 定义s[ ]是以结点i为元素的并查集。
• 初始化:令s[i]=i。（联想：某人的号码是i，他属于帮派s[i]）

 每个人都相互不认识

代码实现 

def init_set():
    #初始化
    for i in range (N): s. append(i)

# s = list (range (N))   #init_set ()可以简化为这一行

合并 

• 加入第一个朋友关系(1,2)。

在并查集s中，把结点1合并到结点2，也就是把结点1的集1改成结点2的集2。

 

• 加入第二个朋友关系(1,3):

查找结点1的集，是2，递归查找元素2的集是2;

把元素2的集2合并到结点3的集3。此时，结点1、2、3都属于一个集。

 

• 加入第三个朋友关系(2,4):

代码实现 

# 合并x和y
def merge_set(x,y):
    x = find_set(x)    # 查找x的集合
    y = find_set(y)    # 查找y的集合
    if(x != y): s[x] = s[y]  # 若集合不同，合并

查找

 查找元素的集，是一个递归的过程，直到元素的值和它的集相等，就找到了根结点的集。

代码实现 

def find_set(x):
    if x != s[x]:  return find_set(s[x])
    else:          return x

查找代码【图解】 

这棵搜索树，可能很细长，复杂度O(n)，变成了一个链表，出现了树的“退化”现象。

有多少个集（帮派）?

• 如果s[i]=i，这是一个根结点，是它所在的集的代表（帮主） ;
• 统计根结点的数量，就是集的数量。

复杂度

查找find_set()，合并merge_set()的搜索深度是树的长度，复杂度都是O(n)，性能差。
优化目标:优复杂度 ≈ O(1)。

查询的优化:路径压缩

• 查询程序find set():沿着搜索路径找到根结点，这条路径可能很长。
• 优化:沿路径返回时，顺便把i所属的集改成根结点。下次再搜，复杂度是O( 1)。

图片说明：沿路径返回时吗，3的集是4，不用改；继续返回到2,2的集是3，不是根节点，改成根节点4；继续返回到1，1的集是2，不是根节点，改成根节点4。 

【代码】用递归实现 

def find_set(x):    #有路径压缩优化的查询
    if(x != s[x]):               # 不等于自己的集
        s[x] = find_set(s[x])    # 把集改成根节点的集
    return s[x]

注：第一次要查n次，后面只需要查一次 

• 路径压缩：整个搜索路径上的元素，在递归过程中，从元素i到根结点的所有元素，它们所属的集都被改为根结点。
• 路径压缩不仅优化了下次查询，而且也优化了合并，因为合并时也用到了查询。

并查集:初始化、查找、合并代码 

def init_set():      #初始化
    for i in range (N):
        s. append(i)

def find_set(x):    #有路径压缩优化的查询
    if x != s[x]:               # 不等于自己的集
        s[x] = find_set(s[x])    # 把集改成根节点的集
    return s[x]

def merge_set(x,y):  #合并
    x = find_set(x)
    y = find_set(y)
    if x != y: s[x] = s[y]

注意：并查集虽然使用了递归来实现，但并不需要设置递归深度，因为并查集问题的深度很浅，不需要用到import sys   sys.setrecursionlimit(10000)来修改默认的最大递归深度。

蓝桥杯实战训练1

 蓝桥幼儿园lanqi ao0J题号1135

【题目描述】

        蓝桥幼儿园的学生是如此的天真无邪，以至于对他们来说，朋友的朋友就是自己的朋友。小明是蓝桥幼儿园的老师，这天他决定为学生们举办一个交友活动，活动规则如下：

小明会用红绳连接两名学生，被连中的两个学生将成为朋友。

        小明想让所有学生都互相成为朋友，但是蓝桥幼儿园的学生实在太多了，他无法用肉眼判断某两个学生是否为朋友。请你帮忙写程序判断某两个学生是否为朋友（默认自己和自己也是朋友）。

【输入描述】

第 1 行包含两个正整数N,M，其中 N 表示蓝桥幼儿园的学生数量，学生的编号分别为 1∼N。

之后的第 2∼M+1 行每行输入三个整数，op,x,y：

• 如果 op = 1，表示小明用红绳连接了学生 x 和学生 y 。
• 如果 op=2，请你回答小明学生 x 和 学生 y 是否为朋友。

1≤N,M≤2×10^5，1≤x,y≤N。

【输出描述】

对于每个 op=2 的输入，如果 x 和 y 是朋友，则输出一行 YES，否则输出一行 NO。

【输入输出样式】

输入

5 5 
2 1 2
1 1 3
2 1 3
1 2 3 
2 1 2

输出

NO
YES
YES

def init_set(N):      #初始化
    for i in range (N):
        s. append(i)

def find_set(x):    #有路径压缩优化的查询
    if x != s[x]:               # 不等于自己的集
        s[x] = find_set(s[x])    # 把集改成根节点的集
    return s[x]

def merge_set(x,y):  #合并
    x = find_set(x)
    y = find_set(y)
    if x != y: s[x] = s[y]

n,m = map(int,input().split())
s  = []
init_set(10**6)    # 大小看题目要求，最大规模10**6
for i in range(m):
    op,x,y = map(int,input().split())
    if op == 1:
        merge_set(x,y)
    else:
        if find_set(x) == find_set(y):
            print("YES")
        else:
            print("NO")

复杂度：m个操作：O(m)