[Prob] Definition 3.7.5 (Function of two r.v.s)

news2024/12/24 3:25:25

定义3.7.5（两个随机变量的函数）：给定一个样本空间 $ S $ 的实验，如果 $ X $ 和 $ Y $ 是映射 $s \in S$ 到X(s) 和 Y(s) 的随机变量，那么 g(X, Y) 就是映射 s 到 g(X(s), Y(s)) 的随机变量。

请注意，我们假定 \X \和 Y 定义在相同的样本空间 S 上。通常我们假设 S 足够丰富，以包含我们希望处理的任何随机变量。例如，如果 X \是基于硬币翻转的随机变量，Y 是基于一个六面骰子掷出的结果，我们就可以使用不同的样本空间 S_1 和 S_2 ，然后再重新定义 X 和 Y ，使它们都定义在一个更丰富的空间 $ $S = S_1 \times S_2$ $ 上。

一种理解随机变量 $ g(X, Y) $ 如何从 $ S $ 映射到 $ $\mathbb{R}$ $ 的方法是通过表格显示在各种可能结果下的 $ X $，$ Y $，和 $ g(X, Y) $ 的值。解释 $ X + Y $ 作为随机变量是直观的：如果我们观察到 $ X = x $ 并且 $ Y = y $，那么 $ X + Y $ 就具体化为 $ x+y $。对于像 $ $\text{max}(X, Y)$ $ 这样不太熟悉的例子，学生们通常不确定如何将其解释为随机变量。但是想法是一样的：如果我们观察到 $ X = x $ 并且 $ Y = y $，那么 $ $\text{max}(X, Y)$ $ 就具体化为 $ $\text{max}(x, y)$ $。