文章目录
- Day 44
- 01. 完全背包基础
- <1> 完全背包的区别
- <2> 案例
- 02. 零钱兑换 II（No. 518）
- <1> 题目
- <2> 笔记
- <3> 代码
- 03. 组合总和 IV（No. 377）
- <1> 题目
- <2> 笔记
- <3> 代码
Day 44
01. 完全背包基础
<1> 完全背包的区别
前面学到的 01 背包的 滚动数组 遍历方法：
for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
而 完全背包问题 的代码是这样的
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
代码写出来很容易看出一个是正序遍历，而一个是倒序遍历；这是建立在滚动数组的方法会 先将上一层的内容复制到本层，然后在上一层代码的基础上来进行操作。
<2> 案例
比如来看这个案例，背包容量为 4
| 物品编号 | weight | value |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 15 |
| 1 | 3 | 20 |
| 2 | 4 | 30 |
- 对于 01背包来说，因为一个物品 只能取一次，所以推导数组中的一个元素，依赖的是 上一层 也就是左上角的内容，是在没有取得这个物品的基础上去决定取还是不取。
- 而对于完全背包问题来说，因为每个物品可以取得多次，所以它以来的其实是 本层 的内容，是在取得这个物品的基础上继续去求得最优解。
这就决定了它们的层序遍历一个是从后往前一个是从前往后，因为要看推导每个元素依赖的部分是什么。
02. 零钱兑换 II（No. 518）
题目链接
代码随想录题解
<1> 题目
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
提示：
1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000
<2> 笔记
本题和昨天的 目标和（No. 494）类似，都是给定一个容量，问填满这个容量 有多少种方法；可以去看一下我的这一篇博客：
代码随想录刷题笔记 DAY 42 | 最后一块石头的重量 II No.1049 | 目标和 No.494 | 一和零 No.474
填满一个容量有多少种方法的递推公式为 dp[j] += dp[j - nums[i]] 对于做过那道题目的朋友这个递推公式应该不陌生；但如果没有做过这道题的话这里推导一下：
- 首先写出二维数组的递推公式：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]] - 对于一个新的元素，有两种选择，取或者不取这个元素，如果不取这个元素的话得到的就是前面的情况
dp[i - 1][j]如果要取这个元素，是要在j - nums[i]的 基础 上去取的，但因为本题中要求的是有多少种方法，所以最终得到的结果就是将这两个求和。
接下来重点讨论一下本题的遍历顺序，卡哥在视频和题解里并没有对这一块举例，这里附上我自己的理解和案例。
本题是属于组合问题，即 1 2 1 和 1 1 2 代表的是 同样的 元素，先来看先遍历物品的情况：
写出代码来就是这样的：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
因为这里这里是按照物品，从上往下取遍历的，推导一个元素依赖的是它的 左上角 的元素，而因为是遍历物品的原因，它的左上角是一定不会含有本元素，因为上层中不会出现 2 所以就不会出现 2 1 和 1 2 这种重复的情况。
这与其 dp 数组的 更新顺序 有关系：
这个数组是先 全部填充满 再去 一行一行 的更新，重点关注一下这个部分，然后接下来来看先遍历背包的情况，依然先给出代码：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
在先遍历背包的时候 dp 数组什么时候会被充满呢？答案是 遍历到最后一列的时候，它是先遍历完第一列，然后填充完 dp 数组的 第一个元素，然后继续遍历第二列、第三列. . . ，直到将 dp 数组填充满，对于这块一定要理解，那这会带来什么影响呢？现在来关注上面标黄色的元素：
它对应的 dp 数组的这个位置，接下来可能会有些混乱，大家看的时候注意一下 主语：
- 先来看黄色的上一行的那个元素，它刚开始遍历的时候为
0，然后dp[j] += dp[j - coins[i]];可以算出j - coins[i]也就是4 - 1 = 3此时要加上下标为3的那个情况，而下标为3的情况是会包含1 2这个组合的，与这里的1组合后就会形成一个1 2 1的情况。 - 此时再来看黄色的那个元素，它的
j - coins[i]为4 - 2 = 2而这个下标为2的部分会包含1 1这个组合，最终组合完成之后得到的结果就是1 1 2，是不是突然发现出现重复情况了？ - 推导本元素虽然依赖的是上方的元素，但是 上方元素 在推导的过程中会依赖于前面的元素，但这个前面元素提前遍历到了本元素，因此出现了重复的情况。
所以先遍历背包求得的是 排列，而先遍历物品求得的是 组合
写出代码
<3> 代码
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount + 1]; // 初始化 dp 数组
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j < dp.length; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
03. 组合总和 IV（No. 377）
题目链接
代码随想录题解
<1> 题目
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 1000nums中的所有元素 互不相同1 <= target <= 1000
<2> 笔记
如果把上一题搞懂了，本题代码就可以直接写出了，与上题不同的是本题是一个排列问题（虽然名字叫排列总和 IV），但题目中的解释中出现了：
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
通过上面的推导其实就知道了，利用滚动数组先遍历背包得到的就是排列的情况，这里直接写出代码。
不要忘记初始化 dp[0] = 1 这是推导的基础
<3> 代码
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j <= target; j++) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (j >= nums[i]) dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
}
