浮点数和定点数

news2024/10/25 4:23:26

前言

大家好我是jiantaoyab，这是我所总结作为学习的笔记第七篇,在这里分享给大家,还有一些书籍《深入理解计算机系统》《计算机组成：结构化方法》《计算机体系结构：量化研究方法》，今天我们来了解定点数和浮点数

定点数

BCD编码

用 4 个比特来表示 0～9 的整数，那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。然后我们把最右边的 2 个 0～9 的整数，当成小数部分；把左边 6 个 0～9 的整数，当成整数部分。这样，我们就可以用 32 个比特，来表示从 0 到 999999.99 这样 1 亿个实数了。

用这种方式有缺陷

本来 32 个比特我们可以表示 40 亿个不同的数，但是在 BCD 编码下，只能表示 1 亿个数
这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字

浮点数

在现实生活中，我们想要表示一个数字很大或者很小的时候，会采用一种叫科学计数法的方法，比如我想表示10的1000次方，我并不需要画很多个零，用1.0 * 10^1000 就可以了

在计算机里，我们也可以用一样的办法，用科学计数法来表示实数。在浮点数的科学计数法的表示中，有一个IEEE的标准，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

$V = (-1)^S * M * 2^E$

(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数
M表示有效数字，大于等于1，小于2
2^E表示指数位

举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

在这里插入图片描述

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M

在这里插入图片描述

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。**IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。**比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字

至于指数E，情况就比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0_{255；如果E为11位，它的取值范围为0}2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比如，2^11的E是15，所以保存成32位浮点数时，必须保存成15+127=132，即01111011。

然后，指数E还可以再分成三种情况：

**（1）E不全为0或不全为1。**这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

**（2）E全为0。**这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

**（3）E全为1。**这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）

可以用这个网站查浮点数的二进制表示

https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

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