题目
文件组合
待传输文件被切分成多个部分，按照原排列顺序，每部分文件编号均为一个 正整数（至少含有两个文件）。传输要求为：连续文件编号总和为接收方指定数字 target 的所有文件。请返回所有符合该要求的文件传输组合列表。
注意，返回时需遵循以下规则：
每种组合按照文件编号 升序 排列； 不同组合按照第一个文件编号 升序 排列。
示例 1：
输入：target = 12 输出：[[3, 4, 5]] 解释：在上述示例中，存在一个连续正整数序列的和为 12，为 [3, 4, 5]。
示例 2：输入：target = 18 输出：[[3,4,5,6],[5,6,7]] 解释：在上述示例中，存在两个连续正整数序列的和分别为18，分别为 [3, 4, 5, 6] 和 [5, 6, 7]。
提示：
1 <= target <= 10^5
解法1：分类
- 这种做法是笔者最朴素的想法：如果遍历小于 target 的每一个数，逐个相加尝试该数是否能组成一个符合条件的文件序列，那时间复杂度太高了（其实这种就是滑动窗口的思想，复杂度只有O(N)）。于是我想能否在遍历到这个数的同时，直接根据这个数与 target 之间的某种关系判断其能否形成合适的序列，于是在观察到文件序列其实是等差数列后，我决定依据等差数列的特点对其进行分类
- 使用 i 进行遍历。文件序列如果有奇数个元素，则可以找到等差中项，target 能整除 i 且 n = target / i 必须为奇数
- 文件序列如果有偶数个元素，则target 能整除 i + i+1 且 n 和 target 的奇偶必须相同（!((n+target)%2)）（因为n 表示有n对i + i+1，而i + i+1必为奇数，所以当n为偶数的时候，n对i + i+1的和为偶数；n为奇数的时候，n对i + i+1的和为奇数。所以 n 和 target 的奇偶必须相同）
- 由于题目要求不同组合按照第一个文件编号 升序 排列，而当我遍历 i 时，无法确定由 i 作为靠中间的元素的这个序列的头部是多少，所以我使用了 map 存储，利用了 map 会自动排序 key 的特点（结构：map<第一个文件编号，文件编号序列的 vector>）
class Solution {
public:
vector<vector<int>> fileCombination(int target) {
vector<vector<int>> all;
map<int, vector<int>> forOrder;
for(int i=1; i<=(target+1)/2; ++i){
if(!(target%i)){//target 能整除 i，则可能的组合有奇数个元素
int n = target / i;
if(n%2 && i>n/2){//n 为组合中元素的个数，必须为奇数
vector<int> group;
for(int j=i-n/2; j<=i+n/2; ++j){
group.push_back(j);
}
forOrder[i-n/2] = group;
}
}
if(!(target%(i + i+1))){//target 能整除 i + i+1，可能的组合必为偶数个元素
int n = target/(i + i+1);
if(!((n+target)%2) && i-(n-1)>0){//n 和 target 的奇偶必须相同
vector<int> group;
for(int j=i-(n-1); j<=(i+1)+(n-1); ++j){
group.push_back(j);
}
forOrder[i-(n-1)] = group;
}
}
}
// 将 forOrder 中的元素按顺序存入 all 中
for (const auto& pair : forOrder) {
all.push_back(pair.second);
}
return all;
}
};
解法2：滑动窗口（双指针）
- 这种想法也很简单，从 i=1 开始，计算其后连续的序列的和，如果和小于 target，那么就在和的基础上往后再加一个数字；如果和大于 target 了，则表明此时的 i 作为开始元素找不到合适的序列，此时 i 往后移动，并记得让和减去上一个 i
- 这种想法虽然是遍历求和，并比较和与目标值，但是时间复杂度并不高，这是因为每次遍历和的计算都是在上一轮和的计算结果上进行的
- 由于是从 i=1 开始遍历，逐渐求和比较，故不存在有的序列会遍历不到的问题
//滑动窗口
vector<vector<int>> fileCombination(int target) {
vector<vector<int>> all;
int i=1, j=2, sum=i+j;
while(i<j){
if(sum == target){
vector<int> group;
for(int k=i; k<=j; ++k){
group.push_back(k);
}
all.push_back(group);
}
if(sum < target){
++j;
sum += j;
// cout<<"j:"<<j<<"sum"<<sum<<endl;
}
else{
sum -= i;
++i;
}
}
return all;
}
解法3：等比数列求和公式求解
- 知道序列和 target，知道首项 i，那么可以利用等差数列求和公式 + 二次方程求根公式求出末项 j，遍历 i 找到所有符合的末项 j 即可。由于是使用公式计算，时间复杂度并不高
- 当 j 为整数时，符合条件，此处的判断方法为：if(j == (int)j)
- c++ 中，有int i，当 ii 结果超过int时，需要写成(long)ii，表达式 ii 的结果会首先根据表达式中操作数的类型来决定。如果 i 是整型（int），那么表达式 ii 也会被视为整型运算。
//等差求和公式做法
vector<vector<int>> fileCombination(int target) {
vector<vector<int>> all;
for(int i=1; i<(target+1)/2; ++i){
double j = (-1+sqrt(1+4*(2*target+(long)i*i-i)))/2.0;
if(j == (int)j){
vector<int> group;
for(int k=i; k<=(int)j; ++k){
group.push_back(k);
}
all.push_back(group);
}
}
return all;
}
