[曲线积分笔记]第一类曲线积分
[微积分笔记]第二类曲线/面积分总结
| 积分 | 方法 | 意义/提示 |
|---|---|---|
| 平面第二型曲线积分 | 化为定积分 | ∮ L → ∫ a b \oint_L \to \int_a^b ∮L→∫ab |
| 平面第二型曲线积分 | 格林公式 | ∮ L → ∬ D \oint_L \to \iint_D ∮L→∬D化为对平面区域的二重积分 |
| 空间第二型曲线积分 | 斯托克斯公式 | ∮ L → ∬ ∑ \oint_L \to \iint_{\sum} ∮L→∬∑化为第一型曲面积分 |
| 第二型曲面积分 | 化为二重积分 | 注意根据方向添加正负号 |
| 第二型曲面积分 | 高斯公式 | ∯ ∑ → ∭ Ω \oiint_{\sum} \to \iiint_{\Omega} ∬∑→∭Ω化为三重积分处理 |
知乎 - 积分关系定理（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）
三重积分
主要方法
这个时候就不得不推荐一位知乎博主的文章了，真的是条理清晰（看完就懂）
知乎 - 【高等数学】二重积分化累次积分方法
知乎 - 【高等数学】三重积分的计算原理
其中他讲的投影法即“先一后二”法，截面法即“先二后一”法（定限截面法）
解三重积分共四大方法：
- 先一后二法
- 先二后一法（实际上是先求截面质量，然后再累积）
- 柱面坐标系下求解
- 球面坐标系下求解
球面坐标系下的三重积分
看这个CSDN - 球面坐标系下的三重积分
曲线积分
（上图来自B站@考研竞赛凯哥）
第一型曲线积分
直接计算
第一型曲面积分和定积分比较来看，前者是 d s ds ds，而后者是 d x dx dx或者 d y dy dy，这就是其中的区别，也表明第一型曲线积分可以转化为定积分处理。把握好在不同坐标系下 d s ds ds化为常见的定积分的方法计即可。
如对于 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + y x ′ 2 d x ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+y_x'^2}dx ds=(dx)2+(dy)2=1+yx′2dx，那么显然有如下转换：
∫ Γ f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + y x 2 d x \int_\Gamma f(x,y)ds=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+y_x^2}dx ∫Γf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))1+yx2dx
即一投二代三计算：投积分上下限、把 y ( x ) y(x) y(x)代替 y y y，然后计算定积分。其中 a a a和 b b b是因为曲线可以表示为 y = y ( x ) , a ≤ x ≤ b y=y(x)\text{ ,}a\le x\le b y=y(x) ,a≤x≤b
若是参数方程， d s = [ x ′ ( t ) ] ′ + [ y ′ ( t ) ] 2 d t ds=\sqrt{[x'(t)]'+[y'(t)]^2}dt ds=[x′(t)]′+[y′(t)]2dt，那么 a a a和 b b b来自于 a ≤ t ≤ b a\le t\le b a≤t≤b
第二型曲线积分
直接计算
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
上述积分的积分曲线
L
L
L定义式是
=
y
(
x
)
=y(x)
=y(x)且起始点
x
=
a
x=a
x=a，终点
x
=
b
x=b
x=b
I = ∫ a b [ P ( x , y ) ⋅ 1 + Q ( x , y ) y ′ ( x ) ] d x I=\int_a^b[P(x,y)·1+Q(x,y)y'(x)]dx I=∫ab[P(x,y)⋅1+Q(x,y)y′(x)]dx
若是参数方程则是
I
=
∫
a
b
[
P
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
x
′
(
t
)
+
Q
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
y
′
(
t
)
]
d
t
I=\int_a^b[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt
I=∫ab[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
其中 t = a t=a t=a是起点， t = b t=b t=b是终点
格林公式
把曲线积分转化成二重积分，二重积分的区域 D D D就是曲线围成的区域
kaysen学长：格林公式史上最通俗最透彻讲解
一些习题过程：微信公众号文章 - 格林公式
积分区域与路径无关：
∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂Q
其他细节
结合曲线定义式替换简化
∮ L x d y − y d x x 2 + y 2 L : x 2 + y 2 = a 2 \oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\text{ }\text{ }L:x^2+y^2=a^2 ∮Lx2+y2xdy−ydx L:x2+y2=a2
先把分母化为
a
2
a^2
a2提出去后再格林公式
1
a
2
∮
L
x
d
y
−
y
d
x
=
1
a
2
∬
D
[
1
−
(
−
1
)
]
d
x
d
y
=
2
a
2
∬
D
1
d
σ
=
2
π
\frac1{a^2}\oint_Lxdy-ydx=\frac1{a^2}\iint_D[1-(-1)]dxdy=\frac2{a^2}\iint_D1d\sigma=2\pi
a21∮Lxdy−ydx=a21∬D[1−(−1)]dxdy=a22∬D1dσ=2π
格林公式：挖去法
B站 - 5分钟搞懂格林公式的挖洞问题
因为原先
D
D
D内部存在偏导不连续的点，所以才要使用挖洞法，将之排除在外
挖去的未必是圆，为了方便（消去分母，可以是椭圆或者其他的）
格林公式：补线法
使用补线法补得线一般比较简单。并且如若补的曲线是 y = 0 y=0 y=0，就直接可以把后面所有 y y y和 d y dy dy全换成0，然后发现整个式子为0或者去掉了一部分
曲面积分
B站 - 五分钟带你理清第二型曲面积分的解题思路
封闭曲面是 ∯ \oiint ∬，而不封闭曲面是 ∬ \iint ∬
第一型曲面积分
典型形式 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS ∬Σf(x,y,z)dS
化为二重积分：一投二代三计算
投 y O z yOz yOz面则变成了 f ( x ( y , z ) , y , z ) 1 + ( z y ′ ) 2 + ( z x ′ ) 2 d z d y f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+(z'_y)^2+(z'_x)^2}dzdy f(x(y,z),y,z)1+(zy′)2+(zx′)2dzdy
看最后积分变量，不 d d d谁就把谁的偏导写成 1 1 1
轮换对称性
有一个特例：
∬
Σ
f
(
x
)
d
s
=
∬
Σ
f
(
y
)
d
s
=
∬
Σ
f
(
z
)
d
s
=
1
3
[
∬
Σ
f
(
x
)
d
s
+
∬
Σ
f
(
y
)
d
s
+
∬
Σ
f
(
z
)
d
s
]
\iint_\Sigma f(x)ds=\iint_\Sigma f(y)ds=\iint_\Sigma f(z)ds=\frac13[\iint_\Sigma f(x)ds+\iint_\Sigma f(y)ds+\iint_\Sigma f(z)ds]
∬Σf(x)ds=∬Σf(y)ds=∬Σf(z)ds=31[∬Σf(x)ds+∬Σf(y)ds+∬Σf(z)ds]
第二型曲面积分
典型形式 ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d x d z + R ( x , y , z ) d x d y \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy ∬ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
知乎 - 第二型曲面积分解法小整合
化为二重积分：一投二代三计算
本质是向量场的通量：单位区域流量*面积
∬
Σ
v
→
⋅
n
→
d
s
\iint _\Sigma\overrightarrow {v}·\overrightarrow {n}ds
∬Σv⋅nds
含有方向余弦的转化为标准形式：
因为
d
s
=
1
+
z
x
2
+
z
y
2
d
x
d
y
∬
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
→
∬
Σ
(
P
(
−
z
x
)
+
Q
(
−
z
y
)
+
R
)
d
x
d
y
\text{因为}ds=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy\\ \text{}\\ \iint_\Sigma(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)ds\xrightarrow {}\iint_\Sigma(P(-z_x) + Q(-z_y) + R)dxdy
因为ds=1+zx2+zy2dxdy∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds∬Σ(P(−zx)+Q(−zy)+R)dxdy
（图截取自下方链接）
B站 - 哔站最精炼第二类曲面积分，几分钟搞懂
- 投是投影出区域 D D D，要保证任何两点的投影点不能重合
- 代是把 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z=z(x,y)带入
- 计算是计算二重积分（面朝向与 z z z轴成锐角则为正，否则积分号前加负号，其他投影情况同理）
最终搞的就是计算下式
±
∬
D
f
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
\pm\iint_Df(x,y,z(x,y))dxdy
±∬Df(x,y,z(x,y))dxdy
高斯公式
下图图源：高斯公式，简洁，干货，绝不浪费时间
- 注意方向，朝内则加负号
其他细节
高斯公式：挖去法
散度若是有无定义/无法求偏导的点，就得挖去
