python实现常见一元随机变量的概率分布

一. 随机变量

随机变量是一个从样本空间 $\Omega$ 到实数空间 $R$ 的函数，比如随机变量 $X$ 可以表示投骰子的点数。随机变量一般可以分为两类：

离散型随机变量：随机变量的取值为有限个。
连续型随机变量：随机变量的取值是连续的，有无限多个。

scipy.stat模块中包含了多种概率分布的随机变量,包含离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的常见接口如下：

方法名	功能
rvs	生成该分布的随机序列
pmf	概率质量函数
cdf	累计概率分布函数
stats	计算该分布的均值，方差，偏度，峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)]

连续型随机变量的常见接口如下：

方法名	功能
rvs	生成该分布的随机序列
pdf	概率密度函数
cdf	累计概率分布函数
stats	计算该分布的均值，方差，偏度，峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)]

二. 常见离散分布

1. 二项分布

如果随机变量 $X$ 的分布律为 $C^k_np^kq^{n-k}，k = 0,1,...n，$ 其中 $p + q = 1$ ,则称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，记为 $\sim B(n,p)$ 。

期望： $E (X) = n p$
方差: $D (X) = n p (1 - p)$

画出不同参数下的二项分布， $n, p$ 分别为 $(10 ， 0.3), （ 10 ， 0.5 ）, （ 10 ， 0.7 ）$

import numpy as np
from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)]

    for i in range(len(params)):
        n = params[i][0]
        p = params[i][1]

        x = np.arange(0, n + 1)
        y = binom(n, p).pmf(x)

        # 计算随机变量的期望,方差
        mean, var = binom.stats(n, p, moments='mv')

        ax[i].scatter(x, y, color = 'blue', marker = 'o')
        ax[i].set_title('n = {}, p = {}'.format(n, p))
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].text(1, 0.2, '期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}'.format(mean, var))
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

生成服从不同参数二项分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布

import numpy as np
from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)]

    for i in range(len(params)):
        n = params[i][0]
        p = params[i][1]
        x = np.arange(0, 11)
        # 抽样10万次
        sample = binom.rvs(n = n, p = p, size = 100000)
        print(sample)


        ax[i].hist(sample, color = 'blue', density=True, bins = 50)
        ax[i].set_title('n = {}, p = {}'.format(n, p))
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

2. 几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p，k = 1, 2, ...，$ 其中 $0 < p < 1$ ,则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记为 $\sim Ge(p)$ 。

期望： $\frac{1}{p}$
方差： $\frac{1 - p}{p^2}$

画出不同参数下的几何分布， $p$ 分别为 $(0.3 ， 0.5 ， 0.7)$

import numpy as np
from scipy.stats import geom
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [0.3,0.5,0.7]

    for i in range(len(params)):
        p = params[i]

        x = np.arange(1, 15)
        y = geom(p = p).pmf(x)

        print(y)

        # 计算随机变量的期望,方差
        mean, var = geom.stats(p = p, moments='mv')

        ax[i].scatter(x, y, color = 'blue', marker = 'o')
        ax[i].set_title('p = {}'.format(p))
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].text(5, 0.2, '期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}'.format(mean, var))
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

生成服从不同参数几何分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布

import numpy as np
from scipy.stats import geom
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [0.3, 0.5, 0.7]

    for i in range(len(params)):
        p = params[i]
        x = np.arange(0, 15)
        # 抽样
        sample = geom.rvs(p = p, size = 100000)
        print(sample)


        ax[i].hist(sample, color = 'blue', density=True, bins = 50)
        ax[i].set_title('p = {}'.format(p))
        ax[i].set_xlim(0,15)
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

3. 泊松分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，k = 0, 1, 2 ...，$ 其中 $\lambda > 0，$ 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $\sim P(\lambda)$ 。

期望： $\lambda$
方差： $\lambda$

画出不同参数下的泊松分布， $\lambda$ 分别为 $(2, 6, 8)$

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [2,6,8]

    for i in range(len(params)):
        numda = params[i]

        x = np.arange(1, 15)
        y = poisson(numda).pmf(x)

        # 计算随机变量的期望,方差
        mean, var = poisson.stats(numda, moments='mv')

        ax[i].scatter(x, y, color = 'blue', marker = 'o')
        ax[i].set_title('lambda = {}'.format(numda))
        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
        ax[i].text(5, 0.2, '期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}'.format(mean, var))
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

生成服从不同参数泊松分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10))
    # 调整子图间距
    fig.subplots_adjust(hspace = 0.5)

    params = [2, 6, 8]

    for i in range(len(params)):
        numda = params[i]
        x = np.arange(0, 16)
        # 抽样
        sample = poisson.rvs(numda, size = 1000000)
        print(sample)

        ax[i].hist(sample, color = 'blue', density=True, bins = 50)
        ax[i].set_title('lamdba = {}'.format(numda))

        ax[i].set_xticks(x)
        ax[i].set_xlim(0, 16)
        ax[i].grid()

    plt.show()

运行结果：
在这里插入图片描述

三. 常见连续分布

1. 正太分布

若随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\delta^2}}，( -\infty< x < +\infty)$ ，则称 $X$ 服从参数为 $(\mu，\delta^2)$ 的正太分布，记为 $\sim N(\mu，\delta^2)$ 。当 $\mu =0，\delta = 1$ 时称 $X$ 服从标准正太分布。

期望： $\mu$
方差： $\delta^2$

画出不同参数下的正太分布， $\mu，\delta$ 分别为 $(0, 1), (0, 3)$

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号



if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
    params = [(0, 1, 'red'), (0, 3, 'blue')]

    x = np.linspace(-20, 20, 1000)

    for i in range(0, len(params)):
        loc = params[i][0]
        scale = params[i][1]
        color = params[i][2]
        mean, var = norm.stats(loc, scale, moments='mv')
        ax.plot(x, norm(loc = loc, scale = scale).pdf(x), color = color, label = 'loc={},scale={},均值={},方差={}'.format(loc, scale,mean,var))

    ax.set_xticks(np.arange(-20, 21))
    ax.grid()
    ax.legend()

    plt.show()

生成服从不同参数正太分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':
    fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))
    params = [(0, 1, 'red'), (0, 3, 'blue')]

    x = np.linspace(-20, 20, 1000)

    # 采样
    for i in range(0, len(params)):
        loc = params[i][0]
        scale = params[i][1]
        color = params[i][2]
        # 画出分布图
        ax[i].plot(x, norm(loc = loc, scale = scale).pdf(x), color = color, label = 'loc={},scale={}'.format(loc, scale))
        # 画出随机抽样的频率分布直方图
        ax[i].hist(norm(loc = loc, scale = scale).rvs(size = 100000), density=True, bins = 100)

        ax[i].set_xticks(np.arange(-20, 21))
        ax[i].grid()
        ax[i].legend()

    plt.show()

2. 指数分布

若随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\begin{cases} {\lambda}e^{-{\lambda}x} & x \ge 0\\0 & x < 0\end{cases} (\lambda > 0)$ ，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $\sim E(\lambda)$ 。

期望： $\frac{1}{\lambda}$
方差： $\frac{1}{{\lambda}^2}$

scipy中指数分布expon的参数传入 $\lambda$ 的倒数。

A common parameterization for expon is in terms of the rate parameter lambda, such that pdf = lambda * exp(-lambda * x). This parameterization corresponds to using scale = 1 / lambda.

画出不同参数下的指数分布， $\lambda$ 分别为 $(0.5, 1, 1.5)$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':

    fig, ax = plt.subplots(figsize = (10, 8))
    params = [(0.5, 'red'), (1, 'blue'), (1.5, 'green')]
    
    x = np.linspace(0, 15, 1000)
    
    for i in range(0, len(params)):
        numda = params[i][0]
        color = params[i][1]
        mean, var = expon.stats(loc = 0, scale = 1 / numda, moments='mv')
        ax.plot(x, expon(scale = 1 / numda).pdf(x), color = color, label = 'lambda = {:.2f}, 均值:{:.2f}, 方差: {:.4f}'.format(numda, mean, var))

    ax.grid()
    ax.legend()
    plt.show()

生成服从不同参数指数分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"  # 设置字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 正常显示负号

if __name__ == '__main__':

    fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 8))
    params = [(0.5, 'red'), (1, 'blue'), (1.5, 'green')]

    x = np.linspace(0, 15, 1000)
    # 采样
    for i in range(0, len(params)):
        numda = params[i][0]
        color = params[i][1]
        ax[i].plot(x, expon(scale = 1/numda).pdf(x), color = color, label = 'lambda={}'.format(numda))
        ax[i].hist(expon(scale = 1/numda).rvs(size = 10000), density=True, bins = 100)

        ax[i].set_xticks(np.arange(0, 15))
        ax[i].set_xlim(0, 15)
        ax[i].grid()
        ax[i].legend()

    plt.show()