DFS之剪枝与优化

news2025/7/15 23:25:30

剪枝

1.优化搜索顺序：在大部分情况下，我们应该优先搜索分支较少的结点

2.排除等效冗余（在不考虑顺序的情况下，尽量用组合的方式来搜索）

3.可行性剪枝

4.最优性剪枝

5.记忆化搜索

165. 小猫爬山 - AcWing题库

import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 20;
    static int n, m, res = N;
    static int[] w = new int[N];//每只小猫的数量
    static int[] sum = new int[N];//每个缆车已经放的小猫的重量之和
    
    public static void dfs(int u, int k){//u猫的数量，共有k个缆车
        //最优性剪枝
        if(k >= res) return;
        if(u == n){
            res = k;
            return;
        }
        
        //能在以前的车里面找到位置
        for(int i = 0; i < k; i ++){
            if(sum[i] + w[u] <= m){//可行性剪枝
                sum[i] += w[u];
                dfs(u + 1, k);
                sum[i] -= w[u];//回溯，恢复现场
            }
        }
        
        //新开一辆车
        sum[k] = w[u];//数组是从0开始的，所以这里的第k+1辆车用k表示
        dfs(u + 1, k + 1);
        sum[k] = 0;//恢复现场
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        
        //优化搜索顺序，分支少的先搜索（重猫）
        Arrays.sort(w, 0, n);//排序
        int[] b = new int[n];
        for(int i = n - 1, j = 0; i >= 0; i --){
            b[j ++] = w[i];
        }
        for(int i = 0; i < n; i ++) w[i] = b[i];
        
        dfs(0, 0);
        
        System.out.print(res);
    }
}

166. 数独 - AcWing题库

可以用一个九位的二进制数来表示一行的状态

import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 9, cnt;
    static char[] str;//输入输出
    static int[] row = new int[N];//行
    static int[] cel = new int[N];//列
    static int[][] cell = new int[3][3];//九宫格
    static int[] ones = new int[1 << N];//二进制状态中1的个数
    //二进制数中最后一个1的位置
    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();

    //初始化所有行列和九宫格都可以填1到9中的数
    public static void init(){
        for(int i = 0; i < N; i ++) row[i] = cel[i] = (1 << N) - 1;

        for(int i = 0; i < 3; i ++){
            for(int j = 0; j < 3; j ++){
                cell[i][j] = (1 << N) - 1;
            }
        }
    }

    //st为true表示在这个位置上填上一个t，在这个位置上去除t
    public static void draw(int x, int y, int t, boolean st){
        if(st) str[x * N + y] = (char)(t + '1');
        else str[x * N + y] = '.';

        int v = 1 << t;//第几位的1
        if(!st) v = -v;//回溯

        row[x] -= v;
        cel[y] -= v;
        cell[x / 3][y / 3] -= v;
    }

    //lowbit函数求二进制数的最后一个1
    public static int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }

    //获取他能够放的所有的状态为1的位置
    public static int get(int x, int y){
        return row[x] & cel[y] & cell[x / 3][y / 3];
    }

    public static boolean dfs(int cnt){
        if(cnt == 0) return true;//如果空点已经没有了

        int minv = 10;//能填的数的个数
        int x = -1, y = -1;//初始化这个点的横纵坐标
        //找到能填的数最少的点
        for(int i = 0; i < N; i ++){
            for(int j = 0; j < N; j ++){
                if(str[i * N + j] == '.'){//空着的点才能填
                    int f = get(i, j);//获取它能够放的状态
                    if(ones[f] < minv){
                        minv = ones[f];
                        x = i;
                        y = j;
                    }
                }
            }
        }
        int state = get(x, y);//找到分支最小的那一点
        for(int i = state; i != 0; i -= lowbit(i)){
            int t = map.get(lowbit(i));
            draw(x, y, t, true);//进行放置
            if(dfs(cnt - 1)) return true;
            draw(x, y, t, false);//回溯
        }

        return false;//不行就返回false
    }

    //main函数
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        //获取每个状态中1的个数
        for(int i = 0; i < 1 << N; i ++){
            for(int j = 0; j < N; j ++){
                ones[i] += i >> j & 1;
            }
        }

        //二进制数中最后一个1的位置
        for(int i = 0; i < N; i ++) map.put(1 << i, i);

        while(true){
            String s = sc.next();//输入数据
            if(s.equals("end")) break;
            str = s.toCharArray();//转化为数组

            init();//初始化

            cnt = 81;//一共有81个空位要填
            for(int i = 0; i < N; i ++){
                for(int j = 0; j < N; j ++){
                    //转化为二维数组来看
                    if(str[i * N + j] != '.'){
                        draw(i, j, str[i * N + j] - '1', true);//填上这个数
                        cnt --;//减去空着的点数
                    }
                }
            }

            dfs(cnt);

            //把char数组转化为字符串输出
            System.out.println(new String(str));
        }
    }
}

167. 木棒 - AcWing题库

import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 70;
    static int length, sum, n;
    static int[] w = new int[N];//每根小棍的长度
    static boolean[] st = new boolean[N];//标记这个小棍用过了没有
    
    public static boolean dfs(int u, int s, int start){//第几根大棍，这个大棍的长度，从第几根小棍开始枚举
        if(u * length == sum) return true;
        if(s == length) return dfs(u + 1, 0, 0);//如果当前大棍已经满了
        
        for(int i = start; i < n; i ++){
            if(st[i]) continue;//已经用过了
            //可行性剪枝
            if(s + w[i] > length) continue;//超过大小了
            
            st[i] = true;//标记一下
            if(dfs(u, s + w[i], i + 1)) return true;
            st[i] = false;//恢复现场
            
            if(s == 0) return false;//放在第一个位置失败
            if(s + w[i] == length) return false;//放在最后一个位置失败
            
            int j = i;
            while(j < n && w[i] == w[j]) j ++;
            i = j - 1;
        }
        return false;
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while(true){
            length = 0;
            sum = 0;
            Arrays.fill(st, false);//多组测试数据
            
            n = sc.nextInt();
            if(n == 0) break;
            for(int i = 0; i < n; i ++){
                w[i] = sc.nextInt();
                length = Math.max(length, w[i]);
                sum += w[i];//所有大棍的总长度
            }
            
            //从大到小排序，优化搜索顺序
            Arrays.sort(w, 0, n);
            int[] b = new int[n];
            for(int i = n - 1, j = 0; i >= 0; i --){
                b[j ++] = w[i];
            }
            for(int i = 0; i < n; i ++){
                w[i] = b[i];
            }
            
            while(true){
                //判断总长度是不是length的倍数
                if(sum % length == 0 && dfs(0, 0, 0)){
                    System.out.println(length);//因为length从小到大枚举，所以第一次成立的时候就是最小值
                    break;
                }
                length ++;
            }
        }
    }
}