408 数据结构笔记

news2025/2/26 6:04:12

408 数据结构

  • 常用名词
    • 存取
  • 第一章-绪论
    • 数据结构的基本概念
      • 数据的存储结构
        • 顺序存储
        • 链式存储
        • 索引存储
        • 散列存储
      • 数据类型和抽象数据类型
      • 知识总览
      • 学习方式顺序
    • 算法的基本概念
    • 时间复杂度
    • 空间复杂度
  • 第二章-线性表
    • 总览
    • 顺序表
      • 顺序表的定义
        • 知识结构
        • 静态分配
        • 动态分配
        • 顺序表的特点
        • 顺序表的插入删除
  • 第三章-栈和队列
    • 队列
      • 顺序存储的循环队列
        • front指向队头，rear指向下一个元素入队的位置（队尾元素的下一个位置）
          • 判断队列已满
          • 判断队列为空
          • 入队
        • front指向队头，rear指向队尾元素
          • 入队
          • 队列初始化
          • 判空
          • 判满
    • 栈的应用
      • 中缀表达式转后缀表达式
  • 第四章——串
    • KMP算法
      • 求next数组
  • 第五章-树
    • 数的定义和基本术语
    • 常见考点
      • 结点数和总度数
      • 度数为m的树
      • m叉树
      • 第i层的结点数最多有
      • 高度为h的m叉树最多有
      • 高度为h的m叉树最少有h个结点
      • 具有n个结点的m叉树的最小高度
    • 二叉树
      • 二叉树的五种状态
      • 几个特殊的二叉树
        • 满二叉树
        • 完全二叉树
        • 二叉排序树
        • 平衡二叉树
      • 二叉树选择题重要考点
      • 二叉树的存储结构
        • 二叉树顺序存储
      • 二叉树的链式存储
    • 二叉树的先中后序遍历
      • 先序遍历
      • 中序遍历
      • 后序遍历
      • 求二叉树深度
      • 总结
    • 由遍历序列构造二叉树
      • 前序 + 中序遍历序列
      • 层序+中序遍历序列
    • 线索二叉树
      • 中序线索化
      • 先序线索化
      • 后序线索化
    • 线索二叉树找前后继
      • 中序线索二叉树找后继
      • 中序线索二叉树找前驱
      • 先序线索二叉树找先序后继
      • 先序线索二叉树找先序前驱
      • 后序线索二叉树找后序前驱
      • 后序线索二叉树找后序后继
      • 知识回顾
    • 二叉排序树
      • 二叉排序树的查找
      • 二叉排序树的插入
      • 二叉排序树的删除
      • 平均查找长度
      • 知识回顾
    • 平衡二叉树
      • 最小不平衡子树
      • 调整最小不平衡子树（LL）
      • 调整最小不平衡子树（RR）
      • LL与RR代码
      • 调整最小不平衡子树（LR）
      • 调整最小不平衡子树（RL）
      • 高度为h的平衡二叉树至少需要多少个结点
      • 总结
    • 树的存储结构
      • 双亲表示法
      • 孩子表示法
      • 孩子兄弟表示法
      • 森林和二叉树的转换
      • 森林、树、二叉树的遍历
    • 哈夫曼树
      • 思想
      • 带权路径长度
      • 哈夫曼树定义
      • 哈夫曼树的构造
      • 前缀编码
  • 第六章-图
    • 图的基本概念
      • 图的定义
        • 无向图
        • 有向图
        • 简单图
      • 顶点的度
      • 顶点与顶点的关系描述
        • 连通图、强连通图
      • 子图、生成子图
        • 连通分量、极大连通子图（无向图）
        • 强连通分量、极大强连通分量（有向图）
        • 生成树（极小连通子图）
      • 边的权、带权图/网
      • 几种特殊形态的图
    • 邻接矩阵
      • 求顶点的度
      • 带权图
      • 邻接矩阵的性质
    • 邻接表
      • 邻接表定义
      • 计算度、出度、入度
      • 对比
    • 十字链表
    • 邻接多重表
    • 最小生成树
      • 普利姆算法
      • Kruskal算法
      • 时间复杂度对比
    • 求最短路径
      • Dijstra算法
      • Floyd算法
      • 对比
    • 有向无环图（DAG）
      • 定义
      • AOV网
      • 拓扑排序
      • 逆拓扑排序
      • AOE网
        • 求关键路径
          • 1.求事件vk的最早发生时间 ve(k)
          • 2.事件vk的最迟发生事件 vl(k)
          • 3.活动的最早发生时间
          • 4.求所有活动的最迟发生时间
          • 5.e(i)=l(i)的即为关键路径
        • 关键路径特性
  • 第七章-查找
    • 平均查找长度
    • 顺序查找
      • 实现
      • 无序表ASL
      • 有序表ASL
    • 折半（二分）查找
      • 实现
      • 查找效率分析
      • 折半查找判定树
      • 折半查找的查找效率
    • 分块查找
      • 思想
      • 用折半查找查索引
      • 查找效率分析
    • 红黑树
      • 为什么要发明红黑树
      • 红黑树的定义
      • 红黑树的性质
      • 红黑树的插入
    • B树
      • B树的核心特性
      • B树的高度
        • 最小高度（每个结点的关键字和分叉最多）
        • 最大高度（每个结点的关键字和分叉最小）
      • B树的插入
      • B树的删除
        • 删除结点在终端结点（关键字数足够）
        • 删除结点在非终端结点（关键字数足够）
        • 关键字数不足够
          • 兄弟够借
          • 兄弟不够借（合并）
    • B+树
    • 散列查找
      • 散列表（哈希表）定义
      • 散列函数的构造方法
        • 数字分析法
        • 除留余数法
        • 直接定址法
        • 平方取中法
      • 处理冲突的方法
        • 开放地址法
          • 线性探测法
          • 平方探测法
          • 伪随机序列法
          • 再散列法
          • 删除注意事项
        • 拉链法（简单）
  • 第8章—排序
    • 插入排序
      • 插入排序
      • 折半插入排序
      • 总结
      • 希尔排序
    • 冒泡排序
      • 算法实现
      • 算法性能分析
    • 快速排序
      • 代码
      • 时间复杂度
    • 简单选择排序
    • 堆排序
      • 堆的概念
      • 建立大根堆
      • 堆排序的完整逻辑
      • 时间复杂度分析
      • 稳定性
      • 在堆中插入新元素
      • 在堆中删除元素
      • 插入删除总结
    • 归并排序
      • 代码实现
      • 复杂度分析
    • 外部排序
      • 时间开销分析
      • 优化1：多路归并
      • 优化2：减少初始归并段数量
      • 总结
      • 败者树
      • 最佳归并树（哈夫曼树）
        • 添加虚段的数量

常用名词

存取

  • 一般是用作计算机术语，存取是一个动作合成词，存指代计算机的写入，取指代计算机的读取。

第一章-绪论

数据结构的基本概念

数据的存储结构

顺序存储

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链式存储

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索引存储

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散列存储

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数据类型和抽象数据类型

  • 数据类型是一个值的集合和在此集合上的一组操作的总称。
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  • 抽象数据类型不考虑物理结构（存储结构）
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知识总览

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学习方式顺序

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算法的基本概念

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时间复杂度

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空间复杂度

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第二章-线性表

总览

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顺序表

顺序表的定义

知识结构

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静态分配

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动态分配

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顺序表的特点

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顺序表的插入删除

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第三章-栈和队列

队列

顺序存储的循环队列

  • 队列元素长度：(rear+MaxSize-front) %MaxSize
front指向队头，rear指向下一个元素入队的位置（队尾元素的下一个位置）
判断队列已满
  • 方法一：用一个空闲空间
    (Q.rear+1)%MaxSize == Q.front
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  • 方案2：size记录大小
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  • 方案3：tag记录最近的操作是入队（导致队满）还是出队（导致队空）
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判断队列为空
  • Q.front = Q.rear
入队

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front指向队头，rear指向队尾元素
入队

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队列初始化
  • front = 0，rear = n-1
判空

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判满

  • 方案一：牺牲一个存储单元
    (Q.rear+2)%MaxSize == Q.front;
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  • 方案二：增加辅助变量

栈的应用

中缀表达式转后缀表达式

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第四章——串

KMP算法

求next数组

  • 串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的子串。
  • 串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的子串。
  • next [j] = 前1~j-1个字符组成的串S的最长相等前后缀长度 + 1。

第五章-树

数的定义和基本术语

  • 特性：
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  • 定义：
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常见考点

结点数和总度数

    1. 结点数 = 总度数（总边数）+1

度数为m的树

    1. 度为m的树：各结点的度（边数）的最大值
    • 至少有一个结点度数为m
    • 一定是非空树，至少有m+1个结点

m叉树

    1. m叉树：每个结点最多只能有m个孩子的树
    • 任意结点的度小于等于m
    • 允许是空树

第i层的结点数最多有

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高度为h的m叉树最多有

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高度为h的m叉树最少有h个结点

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具有n个结点的m叉树的最小高度

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二叉树

二叉树的五种状态

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几个特殊的二叉树

满二叉树

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完全二叉树

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二叉排序树

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平衡二叉树

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二叉树选择题重要考点

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二叉树的存储结构

二叉树顺序存储

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在这里插入图片描述

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  • 二叉树顺序存储结构，只适合存储完全二叉树

二叉树的链式存储

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  • n个结点的二叉链表共有n+1个空链域。

二叉树的先中后序遍历

先序遍历

  • 根节点—左子树—右子树

中序遍历

  • 左子树—根节点—右子树

后序遍历

  • 左子树—右子树—根节点

求二叉树深度

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总结

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由遍历序列构造二叉树

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前序 + 中序遍历序列

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层序+中序遍历序列

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线索二叉树

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中序线索化

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先序线索化

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后序线索化

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线索二叉树找前后继

中序线索二叉树找后继

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中序线索二叉树找前驱

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先序线索二叉树找先序后继

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先序线索二叉树找先序前驱

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后序线索二叉树找后序前驱

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后序线索二叉树找后序后继

  • 不能找到父节点
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  • 能找到父节点，三叉链表
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知识回顾

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二叉排序树

二叉排序树的查找

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二叉排序树的插入

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二叉排序树的删除

  • 情况1：若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。
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  • 情况2： 若结点z只有一颗左子树或右子树，则让z的子树成为z父节点的子树，替代z的位置。
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  • 情况3：若结点z有左、右两颗子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删除这个直接后继（或直接前驱），这样就转换成了第一种情况。
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平均查找长度

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知识回顾

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平衡二叉树

最小不平衡子树

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调整最小不平衡子树（LL）

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调整最小不平衡子树（RR）

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LL与RR代码

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调整最小不平衡子树（LR）

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调整最小不平衡子树（RL）

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高度为h的平衡二叉树至少需要多少个结点

假设F1,F2为TL，TR的最少节点数，则，F(n) = F1+F2 +1。那么F1,F2 到底等于多少呢？

由于TL，TR与T一样是平衡二叉树，又由于我们知道T的最少节点数是F(n),其中n为T的高度，因此如果我们知道TL，TR的高度就可以知道F1,F2的值了。

由平衡二叉树的定义可以知道，TL和TR的高度要么相同，要么相差1，而当TL与TR高度相同(即:都等于n-1)时，我们算出来的F(n)并不能保证最小，两边都是（n-1）,明显比(n-2)大，节点数更多

因此只有当TL与TR高度相差一(即：一个高度为n-1，一个高度为n-2)时，计算出来的F(n)才能最小。

此时我们假设TL比TR高度要高1(即：TL高度为n-1，TR高度为n-2)，则有：F1 = F(n-1),F2 = F(n-2)。

因此得到结论：F(n) = F(n-1) + F(n -2 ) + 1

总结

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树的存储结构

双亲表示法

  • 优点：查找指定结点的双亲很方便。
  • 缺点：查指定结点的孩子只能从头遍历。
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孩子表示法

  • 优点：找孩子方便。
  • 缺点：找双亲不方便。
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孩子兄弟表示法

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森林和二叉树的转换

  • 二叉树的右指针指向兄弟结点。
  • 二叉树的左指针指向孩子结点。
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森林、树、二叉树的遍历

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哈夫曼树

思想

  • 使权重（代表出现次数或概率）最多的元素占用最短的路径（代表操作次数）。

带权路径长度

  • 结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积。
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哈夫曼树定义

哈夫曼树：带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也就是最优二叉树。
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哈夫曼树的构造

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前缀编码

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  • 各个字符出现的频度作为权值，编码长度作为路径长度。
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第六章-图

图的基本概念

图的定义

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无向图

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有向图

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简单图

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顶点的度

  • 无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。
  • 有向图
    • 入度：以顶点v为终点的有向边的数目。 ID(v)。
    • 出度：以顶点v为起点的有向边的数目。OD(v)。
  • 有向图的入度之和 和 出度之和相等。
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顶点与顶点的关系描述

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连通图、强连通图
  • 无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的。
  • 有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
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子图、生成子图

  • 生成子图：包含了原图的所有点。
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连通分量、极大连通子图（无向图）
  • 极大连通子图（连通分量）：必须连通，且包含尽可能多的顶点和边。
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强连通分量、极大强连通分量（有向图）

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生成树（极小连通子图）
  • 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
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边的权、带权图/网

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几种特殊形态的图

在这里插入图片描述
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邻接矩阵

  • 缺点：空间复杂度高，不适合存储稀疏图。

求顶点的度

  • 有向图中：A元素的行对应A元素的出度，A元素的列对应A元素的入度。
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带权图

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邻接矩阵的性质

  • A^n的元素A ^n[i][j] = 由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目。
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邻接表

邻接表定义

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计算度、出度、入度

  • 无向图：度，遍历行
  • 有向图：
    • 出度：遍历行
    • 入度：难算，遍历整个图
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对比

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十字链表

  • 只适合有向图
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邻接多重表

  • 只适合无向图
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最小生成树

普利姆算法

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Kruskal算法

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时间复杂度对比

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求最短路径

Dijstra算法

  • 求一个顶点v0到所有其他顶点的最短路径。
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Floyd算法

  • 求出所有顶点之间的最短路径
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对比

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有向无环图（DAG）

定义

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AOV网

  • 顶点表示活动
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拓扑排序

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逆拓扑排序

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AOE网

  • Activity on Edge Network
  • 顶点表示事件（一瞬间发生），边表示活动。
求关键路径
1.求事件vk的最早发生时间 ve(k)
  • 事件vk的最早发生时间：
    • 源点v1到顶点vk的最长路径长度。
    • 决定了从v1开始的活动的最早发生时间。
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  • vj 为 vk的任意前驱
2.事件vk的最迟发生事件 vl(k)
  • 该事件最迟必须发生的时间
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  • vj为vk的任意后继
3.活动的最早发生时间

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4.求所有活动的最迟发生时间

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5.e(i)=l(i)的即为关键路径

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关键路径特性

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第七章-查找

平均查找长度

  • 衡量查找算法效率最主要的指标
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顺序查找

实现

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无序表ASL

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有序表ASL

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折半（二分）查找

实现

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查找效率分析

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折半查找判定树

  • 左子树比右子树多一个元素（或少一个元素）。
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折半查找的查找效率

  • 折半查找判定树的树高为：
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分块查找

思想

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用折半查找查索引

  • 要在low所指分块中查找
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查找效率分析

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红黑树

为什么要发明红黑树

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红黑树的定义

  • 左子树结点值<= 根结点值 <= 右子树结点值 （左根右）
  • 根结点和叶节点是黑色的（根叶黑）
  • 不存在两个相邻的红结点
  • 黑路同
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红黑树的性质

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红黑树的插入

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B树

B树的核心特性

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n个关键字把数值区域切分成n+1个部分

B树的高度

最小高度（每个结点的关键字和分叉最多）

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最大高度（每个结点的关键字和分叉最小）

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B树的插入

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B树的删除

删除结点在终端结点（关键字数足够）

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删除结点在非终端结点（关键字数足够）

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关键字数不足够
兄弟够借

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兄弟不够借（合并）

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B+树

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散列查找

散列表（哈希表）定义

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散列函数的构造方法

数字分析法

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除留余数法

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直接定址法

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平方取中法

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处理冲突的方法

开放地址法
线性探测法

在这里插入图片描述
缺点：
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平方探测法

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伪随机序列法

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在这里插入图片描述

再散列法
删除注意事项

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拉链法（简单）

第8章—排序

插入排序

插入排序

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折半插入排序

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总结

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希尔排序

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冒泡排序

算法实现

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算法性能分析

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快速排序

代码

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时间复杂度

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简单选择排序

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堆排序

堆的概念

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建立大根堆

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  • 代码:
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堆排序的完整逻辑

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时间复杂度分析

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在这里插入图片描述

稳定性

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在堆中插入新元素

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在堆中删除元素

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插入删除总结

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归并排序

代码实现

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复杂度分析

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外部排序

时间开销分析

  • 外部排序时间开销 = 内部排序的时间 + 读写外存的时间 + 内部归并的时间
  • 减少归并趟数来减少读写外存的时间。
    在这里插入图片描述

优化1：多路归并

在这里插入图片描述

优化2：减少初始归并段数量

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总结

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败者树

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最佳归并树（哈夫曼树）

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添加虚段的数量

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