目录
题目
思路
普通思路
动态规划思路
1.状态表示
2.状态转移方程
3.初始化
4.填表顺序
5.返回值
代码
空间优化
题目
题目链接
面试题 08.01. 三步问题
https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/
三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。
示例1:
输入：n = 3 输出：4 说明: 有四种走法
示例2:
输入：n = 5 输出：13
提示:
- n范围在[1, 1000000]之间
思路
普通思路
小孩每次可以走1步，2步，3步，我们可以将地面看成第0级台阶
当n=1时，也就是只有一级台阶，很明显可以看出，只有一种方式就是从0->1
当n=2时，也就是有两个台阶，
因为小孩可以一次性走两步，所以可以直接从0->2这是一种，
还有一种就是先上道前面的台阶，然后在到2，有1，而上到1有一种方式（0->1)。所以也是只有一种情况（0->1->2)。
根据以上分析，当n=2时，有2（1+1）种方式上台阶.
当n=3时，也就是有三个台阶
小孩可以一次性走三步，所以第一种方法，0->3
其他方法,小孩可以先上到前面台阶上，在上到3，
当小孩先上到2，再走一步就到三，上到二有两种方法（0->2,0->1->2))所以在这个情况下有两种方式（0->2->3,0->1->2->3)
当小孩先上到1，在走两步就到3，而上到1只有一种方式，所以这种方式就是0->1->3
根据以上分析，当n=3时，有4（1+2+1）种方式上台阶
当n=4时，也就是有4个台阶
因为小孩不可以一次走四步，所以就是先上到前面台阶，然后到第四台阶.
1）先到第三台阶再走一步到第四台阶，到第三台阶根据前面分析有四种方法（这里就不列举了）
2）先到第二台阶再走两步到第四台阶，到第二台阶有两种方法
3）先到第一台阶再走三步到第四台阶，到第一台阶有一种方法
所以当n等于4时，有7种（4+2+1）方法
当n=5时，也就是有五个台阶
因为小孩不可以一次走五步，所以就是先上到前面台阶，然后到第五台阶.
1）先到第四台阶再走一步到第五台阶，到第四台阶根据前面分析有七种方法（这里就不列举了）
2）先到第三台阶再走两步到第五台阶，到第三台阶有四种方法
3）先到第二台阶再走三步到第五台阶，到第二台阶有二种方法
4)先到第一台阶，小孩也不能一次走四步 ，所以这种情况不存在
所以当n等于5时，有13种（7+4+2）方法
根据以上分析，发现此问题，跟泰波那锲数列问题没有太大差别，都是当前项的值，等于前三项之和。
动态规划思路
1.状态表示
dp表里面的值表示的含义就是一个状态表示。
本题就是，dp[i]表示，到达第i个台阶的方法有几种，根据上面普通思路的分析，创建一个名为dp的一维数组，可以把台阶数看成一维数组的下标
2.状态转移方程
状态转移方程就是：dp[i]等于什么？
当i>3时 ，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]
3.初始化
初始化就是：保证填表的时候不越界，对该初始化的值要进行初始化
本题的初始化就是，前三级台阶；
4.填表顺序
确定填表顺序是为了填写当前状态时，所需要的状态已经计算过了
因为当前项等于前三相加，所以只能先算前面的，填表顺序就是从左往右
5.返回值
根据题目要求和状态表示返回我们要的答案
本题就是dp[i]
代码
代码和泰波那锲数一样，改一下初始化和范围 ，具体详情参考 ---泰波那锲数列问题
因为n值会出现非常大的情况，这个时候要注意，数值过大问题题目里面告诉我们“对结果模1000000007”，所以每次相加都要对取模
int waysToStep(int n){
int dp[1000000]={0};
//初始化
dp[1]=1;
dp[2]=2;
dp[3]=4;
//边界
if(n==1)return 1;
if(n==2)return 2;
if(n==3)return 4;
//填表
for(int i=4;i<=n;i++)
{
dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007+dp[i-3])%1000000007;
}
//返回值
return dp[n];
}
空间复杂度：O(n)
时间复杂度：O(n)
空间优化
也是利用滚动数组，具体详情参考 ---泰波那锲数列问题
int waysToStep(int n){
//初始化
int a=1,b=2,c=4,d=0;
//边界
if(n==1)return 1;
if(n==2)return 2;
if(n==3)return 4;
while(n>3)
{
//计算
d=((a+b)%1000000007+c)%1000000007;
//滚动操作
a=b;b=c;c=d;
n--;
}
return d;
}空间复杂度：O(1)
时间复杂度：O(n)
