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46. 携带研究材料（第六期模拟笔试）
状态表示
二维：dp[i] [j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
一维：
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
状态转移方程
二维：
如果想到dp[i][j]是从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少，那么可以有两个方向推出来dp[i] [j]，
-
不放物品i：由
dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。) -
放物品i：由
dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]]为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]（物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值所以递归公式：
dp[i][j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
一维：
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j- 物品i重量的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
初始化
二维：
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总 和一定为0。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看 出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略
dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
一维：
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
填表
二维：从左到右
一维：从左到右
返回值
二维：dp[n][m]
一维：dp[n]
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n = 0, BagWeight = 0;
void solve() {
std::vector<int> weight(n, 0);
std::vector<int> val(n, 0);
for(int i = 0; i < n; i++) {
cin >> weight[i];
}
for(int i = 0; i < n; i++) {
cin >> val[i];
}
//创建dp数组
std::vector<std::vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(BagWeight+1, 0));
//初始化
for(int i = weight[0]; i <= BagWeight; i++) {
dp[0][i] = val[0];
}
//填表
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) {
for(int j = 0; j <= BagWeight; j++) {
if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + val[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][BagWeight] << endl;
}
int main()
{
while(cin >> n >> BagWeight) {
solve();
}
return 0;
}
// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
// 读取 M 和 N
int M, N;
cin >> M >> N;
vector<int> costs(M);
vector<int> values(M);
for (int i = 0; i < M; i++) {
cin >> costs[i];
}
for (int j = 0; j < M; j++) {
cin >> values[j];
}
// 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
vector<int> dp(N + 1, 0);
// 外层循环遍历每个类型的研究材料
for (int i = 0; i < M; ++i) {
// 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
// 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
}
}
// 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
cout << dp[N] << endl;
return 0;
}
416. 分割等和子集
一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包。
01背包
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
状态表示
dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
状态转移方程
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
初始化
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
填表顺序
从左到右
返回值
dp[n]
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
//判断符合条件
int sum = 0;
for(auto& e : nums) {
sum += e;
}
if(sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
vector<int> dp(10001, 0);
//01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
if(target == dp[target]) return true;
return false;
}
};
