课本里经常有已知系统时域的差分方程，求系统的频率响应这样的题，老师会讲怎么带公式进去解决，怎么查表解决，但我们总时无法直观地理解这两种转换的特殊关联在哪里，这篇文章以FIR滤波器为例，不仅列出了课本里学到的数学推导法，也详细讲了通过复平面的角度进行分析的直观方法。

延迟系统

延迟系统是一个简单的FIR滤波器，由下列差分方程确定：

其中，n0是延迟时间大小，也就是说y系统相当于x系统延时n0时间后的结果。

FIR系统频率响应推导

有限冲激响应(FIR)系统，通常称之为FIR滤波器，这种滤波器的每个输入值是对有限个输入序列的加权求和。

定义FIR滤波器的基本输入输出结构为基于差分方程的时域计算，本文计算中，假定FIR系统为：

如果给这个系统输入一个复指数信号：

那么相应的输出信号推导为：

其中，

FIR滤波器的冲激响应序列邓禹滤波器的系数，我们可以采用滤波器系数 或者冲激响应h[k]来表达频率响应，即：

求解频率响应

通过以上公式，求解延迟系统的频率响应：

系统差分方程为：

系统只有一个非零系数 ,

所以系统的频率响应为：

复平面分析延迟系统

任何实余弦信号，实际上是两个复指数信号的合成，其中一个有正频率(复平面逆时针旋转)，一个有负频率(复平面顺时针旋转)。

推广来说，任何实信号都可以用复指数信号来合成。

那么现在带入延迟系统，怎么表达一个复指数信号 时间前的值呢？很简单，给复指数信号反向旋转 时间的角度就好了，也就是给复指数信号乘以 ，这就得出了系统的频率响应：

另一个简单例子，假设一个一阶差分系统：

也就是系统的输出等于输入当前值减去前一个相邻值，将这个系统放在复平面来看，很容易就能得出这个LTI(线性时不变)系统的频率响应为：

相关内容

[信号与系统系列] 复指数信号