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本节目录

一、线性空间
1、欧几里得距离与空间
2、度量空间
3、赋范空间
4、内积空间
二、正交与正交基

本节内容
一、线性空间
通常，我们生活中所处的空间，指的是三维空间。其实本质上与数学中的空间没太大区别，数学上的空间，是三维空间在概念上的拓展。而线性空间里面所有的概念，均可以在三维空间内找到对应的概念。比如，N维线性空间是一个集合，集合中的每一个元素都是一个N维的矢量，表示x=(x1,x2……xN)。当然矢量中的每一个元素，如果均是实数，那么此空间就是实空间；如果均是复数，那就是复空间。通常将线性空间中的元素称为一个点，把上面的集合称为空间。
1、欧几里得距离与空间
在一个N维的线性空间内，存在两个点x=(x1,x2……xN)和y=(y1,y2……yN),根据空间两点之间的距离公式可得：

通常将d(x,y)称为欧几里得距离，将定义d(x,y)的线性空间称为欧几里得空间。
2、度量空间
度量的定义：对于一个线性空间V和实数域R,x,y∈V,若d(.,.)：V×V→R满足以下三个条件，则称为d(.,.)：V×V→R是一个度量。
①非负性：d(x,y)≥0，当且仅当x=y，d(x,y)=0；
②对称性：d(x,y)=d(y,x);
③三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)；
d(.,.)：V×V→R表示：d是一个函数，将两个属于V的元素作为自变量，值域为R。d本质上从V×V到R的一个映射。
度量空间：定义了度量的线性空间。比如欧式距离空间就是一种最常用的度量空间。
3、赋范空间
范数的定义：
对于一个线性空间V、实数域R、复数域C,x,y∈V,α∈C,若||·||：V→R满足以下三个条件，则称为||·||：V→R是V上的一个范数。
①非负性：||x||≥0，当且仅当x=0，||x||=0；
②齐次性：||αx||=α||x||;
③三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||；
范数是一个非负实数，是实数的绝对值的扩展。
4、内积空间
内积的定义：对于一个线性空间V、复数域C,x,y,z∈V,α∈C,若<.,.>：V×V→C满足以下四个条件，则称为<.,.>：V×V→C一个内积。
①正定性:<x,x>≥0，当且仅当x=0，<x,x>=0；
②线性:<x,y+z>=<x,y>+<x,z>;
③线性:<αx,y>=α<x,y>；
④对称性:<x,y>=<y,x>
内积是一个复数。
点积的定义：点积是内积在N维实欧式空间的一种具体形式，V是一个N维实欧式空间,x,y∈V,x=(x1,x2……xN)和y=(y1,y2……yN),则x,y的点积(点乘或标量积)表示如下：

二、正交与正交基
正交的定义：对于一个内积空间V,x,y∈V,若<x,y>=0,那么称x与y正交，即x⊥y。
基，维数，坐标的定义：对于一个内积空间V,e1,e2……，eN∈V,如果V中的任意一个元素x0,均可以唯一地表达为x0=α1e1+α2e2+……+αNeN,将e1,e2……，eN称为V的一组基，线性空间V的维数记作N,α1,α2……,αN是x0在这组基下的坐标。
线性相关和线性无关的定义：对于一个内积空间V,e1,e2……，eN∈V,α1,α2……,αN∈F,如果α1e1+α2e2+……+αNeN=0,能够推导出α1,α2……,αN=0，那么称e1,e2……，eN线性无关，反之，则称e1,e2……，eN线性有关。
标准正交基的定义：对于一个内积空间V,e1,e2……，eN是V的一组基，如果<ei,ej>满足下述关系式，则称e1,e2……，eN是V的一组标准正交基。