来自 论文《 Denoising Diffusion Probabilistic Model》（DDPM）
论文链接： https://arxiv.org/abs/2006.11239
Hung-yi Lee 课件整理
一、 q （ x t ∣ x t − 1 ） q（x_{t} \mid x_{t-1} ） q（xt∣xt−1）的计算
第一行的图示给出了
x
t
x_{t}
xt 和
x
t
−
1
x_{t-1}
xt−1的关系，这里的
β
t
\beta_{t}
βt是事先准备好的值，从
β
1
\beta_{1}
β1 到
β
T
\beta_{T}
βT，这个值相当于超参数，是可以调整的。
噪声是从一个均值为0，方差为1的高斯分布中sample出来的。
实际上这里的
q
（
x
t
∣
x
t
−
1
）
q（x_{t} \mid x_{t-1} ）
q（xt∣xt−1）服从高斯分布，它的均值是它的均值是
1
−
β
t
∗
x
t
\sqrt{1-\beta_{t} } *x_{t}
1−βt∗xt，方差是
β
t
\sqrt{\beta_{t} }
βt。
要怎么计算
q
（
x
t
∣
x
0
）
q（x_{t} \mid x_{0} ）
q（xt∣x0）呢，我们想象中是图片下面表示的这样，是一步一步依次产生的。
实际上这个概率是可以直接计算出来的。
依照上面，我们把 x 1 x_{1} x1和 x 2 x_{2} x2分别用图示表示出来，他们彼此的噪声的分布是相互独立的，没有关系的。
接下来我们把第一行的
x
1
x_{1}
x1带入第二行的
x
1
x_{1}
x1；
这样得到
x
2
x_{2}
x2和
x
0
x_{0}
x0的表达式，也就是第三行。
这样我们得到了 x 2 x_{2} x2的表示，后面两项的分布是一样的，只是系数不同，我们可以只采样一次，把系数合并就可以了，得到黄色噪声图前面的系数。
依此类推，整个过程可以全部合起来，得到
x
t
x_{t}
xt的表示。
为了简化，我们把
α
t
\alpha _{t}
αt写成
1
−
β
t
1-\beta _{t}
1−βt, 把
α
ˉ
t
\bar{ \alpha }_{t}
αˉt写成
α
1
α
2
.
.
.
α
t
\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{t}
α1α2...αt, 这样就可以把红色方框里面的数值用方框下面的符号简化表达。
