C++ 不知树系列之二叉堆排序（递归和非递归实现上沉、下沉算法）

news2025/3/2 4:08:44

1. 前言

什么是二叉堆？

二叉堆是有序的 完全二叉树，在完全二叉树的基础上，二叉堆 提供了有序性特征：

  • 二叉堆 的根结点上的值是整个堆中的最小值或最大值。

  • 当根结点上的值是整个堆结构中的最小值时，此堆称为最小堆。最小堆中，任意节点的值大于父结点的值。

  • 当根结点上的值是整个堆结构中的最大值时，则称堆为最大堆。最大堆中，任意节点的值小于父结点的值。

根据完全二叉树的特性，二叉堆的父结点与子结点之间满足下面的关系：

  • 如果知道了一个结点的位置 i，则其左子结点在 2*i 位置，右子结点在 2*i+1 位置。

    Tips： 前提是存在有子结点。

  • 如果知道了一个结点的位置 i，则其父结点在 i 除以 2 的位置。

    Tips： 根结点没有父结点。

tree02.png

如上图所示：

值为 5 的结点在 2 处，则其左结点 12 的位置应该在 2*2=4 处，而实际情况也是在 4 位置。其右子结点 13 的位置应该在 2*2+1=5 的位置，实际位置也是在 5 位置。

值为 19 的结点现在 7 位置，其父结点的根据公式 7 除 2 等于 3(取整)，应该在 3 处，而实际情况也是在 3 处（位置在 3、 值为 8 的结点是其父结点）。

2 堆的数据结构

2.1 二叉堆的抽象数据结构

当谈论某种数据结构的抽象数据结构时，最基本的 API 无非就是增、删、改、查。

二叉堆的基本抽象数据结构：

  • Heap() ：创建一个新堆。
  • insert(data)： 向堆中添加新节点（数据）。
  • getRoot()： 返回最小（大）堆的最小（大）元素。
  • removeRoot() ：删除根节点。
  • isEmpty()：判断堆是否为空。
  • findAll()：查询堆中所有数据。

根据二叉堆的特性，顺序存储应该成为堆的首选方案。

如有数列=[8,5,12,15,19,13,1]，可以先创建一个一维数组。

tree03.png

数组第 0 位置初始为 0，从第 2 个位置也就是索引号为 1 的地方开始存储堆的数据。如下图，二叉堆中的数据在数组中的对应存储位置。

tree08.png

2.2 基础 API 实现

设计一个 Heap 类封装对二叉堆的操作方法，类中方法用来实现最小堆。

#include <iostream>
using namespace std;
/* 
* 堆类 
*/ 
template<typename T>
class Heap{
    private:
    	
    	//数组
    	T heapList[100];
    	//实际大小
		int size=0; 
		
	public:
		
		/*
		*构造函数 
		*/ 
		Heap(){
		} 
		
		/*
		*返回根结点的值 
		*/
		T getRoot();
		
		/*
		*删除根结点 
		*/
		T removeRoot();
    	
    	/*
		*递归删除
		*/
		T removeRoot_();
		void removeRootByRecursion(int parentIdx );
		
		/*
		*初始化根结点 
		*/ 
		void setRoot(T val);
		
		/*
		*添加新结点,返回存储位置 
		*/
		int insert(T  val);
		
		/*
		*堆是否为空 
		*/ 
		bool isEmpty();
    
    	/*
		* 递归插入 
		*/
		int insert_(T  val);
		int insertByRecursion(int  pos);
		
		/*
		*输出所有结点
		*/
		void findAll() {
			for(int i=0; i<=size; i++)
				cout<<this->heapList[i]<<"\t";
			cout<<endl;
		}	 
};

Heap 类中的属性详解：

  • heapList：使用数组存储二叉堆的数据，初始时，列表的第 0 位置初始为默认值 0。

    Tips： 为什么要设置列表的第 0 位置的默认值为 0？

    这个 0 也不是随意指定的，有其特殊数据含义：用来描述根结点的父结点编号或者说根结点没有父结点。

  • size：用来存储二叉堆中数据的实际个数。

Heap 类中的方法介绍：

isEmpty：检查是不是空堆。逻辑较简单。

/*
*当 size 为 0 时，堆为空 
*/
template<typename T>
bool Heap<T>::isEmpty(){
	return Heap::size==0;
}

setRoot：创建根结点。保证根节点始终存储在列表索引为 1 的位置。

/*
*初始化根结点
*/
template<typename T>
void Heap<T>::setRoot(T val) {
	if( Heap<T>::heapList[1]==0  )
		Heap<T>::heapList[1]=val;
		Heap<T>::size++;
}

getRoot：如果是最大堆，则返回二叉堆的最大值，如果是最小堆，则返回二叉堆的最小值。

/*
*返回根结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::getRoot() {
	if( !Heap<T>::isEmpty  )
		return	Heap<T>::heapList[1];
}

Tips： 使用数组存储二叉堆数据时，根结点始终保存在索引号为 1 的位置。

前面是几个基本方法，现在实现添加新结点，编码之前，先要知道如何在二叉堆中添加新结点：

2.3 上沉算法

添加新结点采用上沉算法。如下演示上沉算法的实现过程。

tree09.png

  • 把新结点添加到已有的二叉堆的最后面。如下图，添加值为 4 的新结点，存储至索引号为 7 的位置。

tree10.png

  • 查找新结点的父结点，并与父结点的值比较大小，如果比父结点的值小，则和父结点交换位置。如下图，值为 4 的结点小于值为 8 的父结点，两者交换位置。

tree11.png

  • 交换后再查询是否存在父结点，如果有，同样比较大小、交换，直到到达根结点或比父结点大为止。值为 4 的结点小于值为 5 的父结点，继续交换。交换后，新结点已经达到了根结点位置，整个添加过程可结束。观察后会发现，遵循此流程添加后，没有破坏二叉堆的有序性。

tree12.png

编码实现 insert 方法

/*
*添加新结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::insert(T val) {
	//存储在最后一个位置
	int pos= ++Heap<T>::size;
	Heap<T>::heapList[pos]=val;
	int temp=0;
	//上沉算法
	while(1) {
		//找到父结点位置
		int parentIdx=  pos / 2;
		if(parentIdx==0)
			//出口一，没有父结点
			break;
		if( Heap<T>::heapList[pos]>Heap<T>::heapList[parentIdx] )
			//出口二：大于父结点
			break;
		else {
			//和父亲结点交换
			temp=Heap<T>::heapList[pos];
			Heap<T>::heapList[pos]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
			Heap<T>::heapList[parentIdx]=temp;
			pos=parentIdx
		}
	}
}

测试向二叉堆中添加数据。

int main(int argc, char** argv) {
	//实例化堆
	Heap<int> heap;
	//初始化根结点
	heap.setRoot(5);
	//检查根结点是否创建成功
	int rootVal=heap.getRoot();
	cout<<"根结点的值："<<rootVal<<endl;
	//添加值为 12和值为  13 的 2个新结点，检查添加新结点后整个二叉堆的有序性是否正确。
	heap.insert(12);
	heap.insert(13);
	cout<<"测试一："<<endl;
	heap.findAll();
	return 0;
}

输出结果：

tree1８.png

tree13.png

添加值为 1 的新结点，并检查二叉堆的有序性。

int main(int argc, char** argv) {
	//省略……
    //添加值为 1 的结点
	heap.insert(1);
	cout<<"测试二："<<endl;
	heap.findAll();
	return 0;
}

tree１９.png

tree14.png

继续添加值为 15、19、8 的 3 个新结点，并检查二叉堆的状况。

int main(int argc, char** argv) {
	//省略……
	heap.insert(15);
	heap.insert(19);
	heap.insert(8);
	cout<<"测试三："<<endl;
	heap.findAll();
	return 0;
}

tree２０.png

tree15.png

上沉算法同样可以使用递归实现。

/*
*递归实现插入
*/
template<typename T>
int Heap<T>::insert_(T  val) {
	//存储在最后一个位置
	int pos= ++Heap<T>::size;
	Heap<T>::heapList[pos]=val;
	//调用
	Heap<T>::insertByRecursion(pos);
}
template<typename T>
int Heap<T>::insertByRecursion(int  pos) {
//找到父结点位置
	int parentIdx=  pos / 2;
	if(parentIdx==0)
		//出口一，没有父结点
		return pos;
	if( Heap<T>::heapList[pos]>Heap<T>::heapList[parentIdx] )
		//出口二：大于父结点
		return pos;
	else {
		//和父亲结点交换
		int temp=Heap<T>::heapList[pos];
		Heap<T>::heapList[pos]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
		Heap<T>::heapList[parentIdx]=temp;
		//递归 
		Heap<T>::insertByRecursion(parentIdx);
	}
}

2.4 下沉算法

介绍完添加方法后，再来了解一下，如何使用下沉算法删除二叉堆中的结点。

二叉堆的删除操作从根结点开始，如下图删除根结点后，空出来的根结点位置，需要在整个二叉堆中重新找一个结点充当新的根结点。

tree04.png

二叉堆中使用下沉算法选择新的根结点：

  • 找到二叉堆中的最后一个结点，移到到根结点位置。如下图，把二叉堆中最后那个值为 19 的结点移到根结点位置。

tree05.png

  • 最小堆中，如果新的根结点的值比左或右子结点的值大，则和子结点交换位置。如下图，在二叉堆中把 19 和 5 的位置进行交换。

Tips： 总是和最小的子结点交换。

tree06.png

  • 交换后，如果还是不满足最小二叉堆父结点小于子结点的规则，则继续比较、交换新根结点直到下沉到二叉堆有序为止。如下，继续交换 12 和 19 的值。如此反复经过多次交换直到整个堆结构符合二叉堆的特性。

tree07.png

removeoot 方法的具体实现：

/*
* 下沉算法，删除结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::removeRoot() {
	if(Heap<T>::size==0)return NULL;
	T root=Heap<T>::heapList[1];
	if(Heap<T>::size==1) {
		Heap<T>::size--;
		return root;
	}
	//堆中最后一个结点移动根结点
	Heap<T>::heapList[1]=Heap<T>::heapList[Heap<T>::size];
	Heap<T>::size--;

	//下沉算法
	int parentIdx=1;
	//子结点值
	T minChild;
	//子结点位置
	int idx;
	while(1) {
		//左结点位置
		int leftIdx=parentIdx*2;
		//右结点位置
		int rightIdx=parentIdx*2+1;
		if( leftIdx<=Heap<T>::size && rightIdx<=Heap<T>::size ) {
			//记录较小的结点值和位置
			minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?Heap<T>::heapList[leftIdx]:Heap<T>::heapList[rightIdx];
			idx=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?leftIdx:rightIdx;
		} else if( leftIdx<=Heap<T>::size) {
			minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx];
			idx=leftIdx;
		} else if( rightIdx<=Heap<T>::size ) {
			minChild=Heap<T>::heapList[rightIdx];
			idx=rightIdx;
		}else{
			//没有子结点 
			break;
		}
		//是否交换
		if( Heap<T>::heapList[parentIdx]>minChild ) {
			Heap<T>::heapList[idx]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
			Heap<T>::heapList[parentIdx]=minChild;
			parentIdx=idx;
		} else {
			break;
		}
	}
	return root;
}

测试在二叉堆中删除结点：

int main(int argc, char** argv) {
    //省略……
	cout<<"测试删除一:"<<endl;
	heap.removeRoot();
	heap.findAll();
	return 0;
}

tree16.png

可以看到最后二叉堆的结构和有序性都得到了完整的保持。

“下沉算法” 同样可以使用递归实现。

/*
*递归实现下沉算法
*/
template<typename T>
T Heap<T>::removeRoot_() {
	if(Heap<T>::size==0)return NULL;
	//根结点值
	T root=Heap<T>::heapList[1];
	//
	if(Heap<T>::size==1) {
		Heap<T>::size--;
		return root;
	}
	//堆中最后一个结点移动根结点
	Heap<T>::heapList[1]=Heap<T>::heapList[Heap<T>::size];
	Heap<T>::size--;
	//调用
	Heap<T>::removeRootByRecursion(1);
	return root;
}

template<typename T>
void Heap<T>::removeRootByRecursion(int parentIdx ) {
	//子结点值
	T minChild;
	//子结点位置
	int idx;
	//左结点位置
	int leftIdx=parentIdx*2;
	//右结点位置
	int rightIdx=parentIdx*2+1;
	if( leftIdx<=Heap<T>::size && rightIdx<=Heap<T>::size ) {
		//记录较小的结点值和位置
		minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?Heap<T>::heapList[leftIdx]:Heap<T>::heapList[rightIdx];
		idx=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?leftIdx:rightIdx;
	} else if( leftIdx<=Heap<T>::size) {
		minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx];
		idx=leftIdx;
	} else if( rightIdx<=Heap<T>::size ) {
		minChild=Heap<T>::heapList[rightIdx];
		idx=rightIdx;
	} else {
		//没有子结点
		return;
	}
	//是否交换
	if( Heap<T>::heapList[parentIdx]>minChild ) {
		Heap<T>::heapList[idx]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
		Heap<T>::heapList[parentIdx]=minChild;
        //递归
		Heap<T>::removeRootByRecursion(idx);
	} else {
		return;
	}
}

3. 堆排序

堆排序指借助堆的有序性对数据进行排序。

  • 需要排序的数据以堆的方式保存。
  • 然后再从堆中以根结点方式取出来，无序数据就会变成有序数据 。

如有数列=[4,1,8,12,5,10,7,21,3]，现通过堆的数据结构进行排序。

int main(int argc, char** argv) {
	//实例化堆
	Heap<int> heap;
	int nums[] = {4,1,8,12,5,10,7,21,3};
	int size=sizeof(nums)/4;
    // 创建根节点
	heap.setRoot(nums[0]);
    // 其它数据添加到二叉堆中
	for (int i=1; i<size; i++) {
		heap.insert(nums[i]);
	}
	cout<<"堆中数据："<<endl;
	heap.findAll();
    // 获取堆中的数据
	for(int i=0; i<size; i++ ) {
		nums[i]= heap.removeRoot();
		heap.findAll();
	}
	for(int i=0; i<size; i++)
		cout<<nums[i]<<"\t";
	return 0;
}

输出结果：

tree２２.png

本例中的代码还有优化空间，本文试图讲清楚堆的使用，优化的地方交给有兴趣者。

4. 后记

在树结构上加上一些新特性要求，树会产生很多新的变种，如二叉树，限制子结点的个数，如满二叉树，限制叶结点的个数，如完全二叉树就是在满二叉树的“满”字上做点文章，让这个’'满"变成"不那么满"。

在完全二叉树上添加有序性，则会衍生出二叉堆数据结构。利用二叉堆的有序性，能轻松完成对数据的排序。

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