1.并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-findset)。

如何合并两个集合：

1. 先找到两个集合的根部（负数为根部）。
2. 以合并AB为例子，假设让B合并到A，A减去B的值，即变成-2；然后让B的值变成A的下标0。
   

观察合并过程，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

2.并查集实现

并查集一般可以解决以下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

int FindRoot(int x)  //找根的下标位置
{
	int par = x;
	while (_ufs[par] >= 0)  //如果当前大于0，说明未到根部，更新到父亲下标
	{
		par = _ufs[par];
	}
	return par;
}

2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

bool InSet(int x1, int x2)
{
	if (FindRoot(x1) == FindRoot(x2))
	{
		return true;
	}
	return false;
}

3. 将两个集合归并成一个集合
   前面讲过，不赘述。

void Union(int x1, int x2) //联合这两棵树，默认x2并到x1
{
	int root1 = FindRoot(x1);
	int root2 = FindRoot(x2);
	if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))  //让小的一方并到大的一方就这样
		swap(root1, root2);

	if (root1 != root2)  //本来不是同一个树（集合）
	{
		_ufs[root1] += _ufs[root2];
		_ufs[root2] = root1;
	}
}

4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

int SetSize()const //返回树的个数
{
	int size = 0;
	for (auto e : _ufs)
		if (e < 0)  size++;
	return size;
}

完整实现：

class UnionFindSet {
public:
	UnionFindSet(size_t size)  //一开始全都设置为-1
		:_ufs(size, -1)
	{}

	void Union(int x1, int x2) //联合这两棵树，默认x2并到x1
	{
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);
		if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))  //让小的一方并到大的一方就这样
			swap(root1, root2);

		if (root1 != root2)  //本来不是同一个树（集合）
		{
			_ufs[root1] += _ufs[root2];
			_ufs[root2] = root1;
		}
	}

	int FindRoot(int x)  //找根的下标位置
	{
		int par = x;
		while (_ufs[par] >= 0)
		{
			par = _ufs[par];
		}
		return par;
	}

	bool InSet(int x1, int x2)
	{
		if (FindRoot(x1) == FindRoot(x2))
		{
			return true;
		}
		return false;
	}

	int SetSize()const //返回树的个数
	{
		int size = 0;
		for (auto e : _ufs)
			if (e < 0)  size++;
		return size;
	}
private:
	vector<int> _ufs;
};

3.并查集应用

省份数量

//讲解：并查集，一个城市就是一个集合
//（1）初始每个城市自成一省
//（2）如果isConnected[i][j]为1，说明i城市和j城市在一个省，合并
//（3）合并完成后遍历数组，负数有几个集合（省份）就有几个
//实际并不一定要实现完整的功能，一般需要的功能是找根部函数

class Solution {
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        vector<int> ufs(isConnected.size(), -1);
        auto FindRoot = [&ufs](int x){   //找根函数
            while(ufs[x] >= 0)  //没到根
            {
                x = ufs[x];
            }
            return x;
        };

        for(int i = 0; i < isConnected.size(); i++)
            for(int j = 0; j < isConnected[i].size(); j++)
                if(isConnected[i][j] == 1)  //有关系
                {
                    int root1 = FindRoot(i), root2 = FindRoot(j);
                    if(root1 != root2)  //不是同个集合
                    {
                        ufs[root1] += ufs[root2];  //这一步本题没必要其实
                        ufs[root2] = root1;
                    }
                }

        int ret = 0;
        for(auto e : ufs)  if(e < 0)  ret++;
        return ret;
    }
};

等式方程的可满足性

//思路：并查集，先遍历一次，建立起集合联系，如果a!=b，但a与b在一个集合中，就是相悖的，返回false
// 本题只有小写字母，可用0对应a,1对应b，依次类推
class Solution {
public:
    bool equationsPossible(const vector<string>& equations) {
        vector<int> ufs(26, -1);
        auto FindRoot = [&ufs](int x) {
            while (ufs[x] >= 0)
            {
                x = ufs[x];
            }
            return x;
        };
        //先遍历一次，建立并查集
        for (auto str : equations)
            if (str[1] == '=')
            {
                int root1 = FindRoot(str[0] - 'a'), root2 = FindRoot(str[3] - 'a');
                if (root1 != root2)
                {
                    ufs[root1] += ufs[root2];  //这一步没必要
                    ufs[root2] = root1;
                }
            }
        //再遍历一次，如果在一个集合中就返回false;
        for (auto str : equations)
            if (str[1] == '!')
            {
                int root1 = FindRoot(str[0] - 'a'), root2 = FindRoot(str[3] - 'a');
                if (root1 == root2)
                {
                    return false;
                }
            }
        return true;
    }
};

4.并查集的路径压缩

并查集一般无需压缩路径，但对数据量大的情况想加快效率就需要压缩路径。

原理：

1. 可在查询时压缩，比如6->5->4->3（根部），先找到根部3。
2. 把6记录下来，一路向上直到根，即让6、5、4直接做3的孩子，从而完成压缩。

int FindRoot(int x)  //找根的下标位置
{
	int root = x;
	while (_ufs[root] >= 0)
	{
		root = _ufs[root];
	}
	//压缩路径
	while (_ufs[x] >= 0)
	{
		int par = _ufs[x];  //先记录父亲下标
		_ufs[x] = root;
		x = par;
	}
	return root;
}