让我们来几道高中的组合题吧：

1.我们一定有n个向下，为

2.我们挑最大的两个，条件是他们奇偶性相同，为2*A10,2;

3.用捆绑法即可。

4.我们用隔板法，为

5.问题等价于23个相同的球放到3个盒子里，每个盒子至少有一个。

下面我们直接看题：

很显然，当无限制条件时，每个a[i]贡献1+2+...+n，因此我们对没有限制的快速幂，有限制的单独计算即可，下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,k,mod=1e9+7,x,y,ck;
map<int,int> mp;
struct node{
    int x,y;
}a[100010];
bool cmp(node a,node b){
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    else return a.x<b.x;
}
long long quicks(long long a,long long b){
    long long i=1;
    while(b){
        if(b&1) i=(a*i)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return i;
}
signed main(){
    cin>>n>>m>>k;
    if(n%2==0) ck=n/2*(n+1)%mod;
    else ck=n*((n+1)/2)%mod;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    }
    sort(a+1,a+k+1,cmp);
    for(int i=1;i<=k;i++){
        if(a[i+1].x==a[i].x&&a[i+1].y==a[i].y) continue;
        if(mp.count(a[i].x)==0) mp[a[i].x]=(ck-a[i].y+mod)%mod;
        else mp[a[i].x]=(mp[a[i].x]-a[i].y+mod)%mod;
    }
    int ans=quicks(ck,m-mp.size());
    map<int,int>::iterator it=mp.begin();
    for(;it!=mp.end();it++){
        ans=(ans*(it->second)+mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
}

接题：

没有障碍时，就是求n个数的排列，而我们现在相当于限制了每一行不能放的元素（互不相同）。

因此，我们可以吧问题等价于1----n个格子，每一个格子不能放与自己下标相同的元素。

这样子就是一个错排问题：

下面给出错排的求解思路：

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,x,a[205];
long long f(long long n){
    if(a[n]!=-1) return a[n];
    else return a[n]=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2));
}
signed main(){
    cin>>n;
    memset(a,-1,sizeof(a));
    a[1]=0;
    a[2]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&x);
        }
    }
    if(n<=1) cout<<0;
    else{ cout<<f(n);
        }
}

下面看看经典的卡特兰数：

（！！！只有第一段翻折）

组合数的除我们用费马小定理求逆元即可。

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,mod;
int pow1(int a,int b){
    int i=1;
    while(b){
        if(b&1) i=i*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return i;
}
signed main(){
    cin>>n>>m;
    mod=20100403;
    int ret=n+1-m;
    for(int i=n+1;i<=n+m;i++) ret=ret*i%mod;
    int ck=n+1;
    for(int i=1;i<=m;i++) ck=ck*i%mod;
    ck=pow1(ck,mod-2);
    cout<<ck*ret%mod;
}