春晚魔术和约瑟夫问题

news2025/10/31 23:26:14

春晚的魔术实际上是一个约瑟夫问题，最终的结果是魔术开始时确定的几个变量确定好的，扑克牌只是道具和障眼法。网上一查这个问题发现颇有历史渊源，17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

编程实现这个过程：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

int last_one(int n, int m)
{
	int res = 0;

	if (n == 1) {
		return 1;
	}

	for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
		res = (res + m) % i;
	}

	return res + 1;
}

int main(void)
{
	int n, m, i, kill = 0, t = 0, s = 0;

	scanf("%d %d", &n, &m);
	printf("%s line %d, total object %d, kill every %d object.\n",
	       __func__, __LINE__, n, m);

	// the first object are reserved, the first index start from
	// 1, end to n.
	bool *array = malloc(sizeof(bool) * (n + 1));
	if (array == NULL) {
		printf("%s line %d, alloc object buffer failure.\n",
		       __func__, __LINE__);
		return -1;
	}

	for (i = 0; i < (n + 1); i ++) {
		array[i] = false;
	}

	do {
		++t;
		if (t > n)
			t = 1;
		if (!array[t])
			s++;
		if (s == m) {
			s = 0;
			printf("%d ", t);

			// kill this object.
			array[t] = true;
			kill++;
		}
	} while (kill != n); // all has been killed.

	printf("kill %d object, last one is %d.\n", kill, last_one(n, m));
	free(array);

	return 0;
}

可见杀戮顺序是9 18 27 6 16 26 7 19 30 12 24 8 22 5 23 11 29 17 10 2 28 25 1 4 15 13 14 3 20 21，所以只要保证9 18 27 6 16 26 7 19 30 12 24 8 22 5 23位置上的人都是非教徒，则15名教徒能够全部存活下来。