N个点，求距离最近的两个点---分治策略（1）

news2024/12/26 9:26:20

设平面有n个点 $P_{1},P_{2},...,P_{n},P_{i}$ 的直角坐标是 $(x_{i},y_{i})$ ,i = 1, 2, ...,n,求距离最近的2个点，距离计算： $d(P_{i}, P_{j}) = ((x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2)^{1/2}$

首先这个问题是可以使用蛮力算法，一共n(n-1)/2个点对，每对点对计算需要常数的时间，蛮力算法需要 $O(n^2)$ 的时间。

由于点对有二维的空间坐标，直觉上我们可以通过将平面进行划分，如图，用一条垂直线将集合P划分为 $P_L$ 和左右2部分，两部分点数近似相等，即

$|P_L| = \left \lceil \frac{|P|}{2} \right \rceil ,|P_R| =\left \lfloor \frac{|P|}{2} \right \rfloor$

P中最临近点有3种情况：都在 $P_L$ 中，都在 $P_R$ 中，或者一个点在 $P_L$ 中，一个在 $P_R$ 中。算法分别计算这3种情况。对于前两种情况，分别计算 $P_L$ 中和 $P_R$ 中的点对，这是2个n/2规模的子问题，对于第三种情况，需要找到由一个 $P_L$ 和一个 $P_R$ 中的点所构成的最邻近点对。假设 $P_L$ 和 $P_R$ 中的最邻近的点对的距离分别是 $\delta _L$ 和 $\delta _R$ ，令 $\delta = min\{ \delta _L, \delta_R\}$ ，那么对于距离小于 $\delta$ 的点对只可能出现在第3种情况，为了找到这样的点对，只需要寻找垂直线l两边距l不超过 $\delta$ 的窄缝内的点即可。

MinDistance(P, X, Y)
input : n个点的集合P，X和Y分别给出P中点的橫、纵坐标
output : 最近的两个点及距离
1.如果P中点数小于等于3， 则直接计算其中的最小距离
2.排序X,Y
3.做垂直线l将P近似划分为大小相等的点集PL和PR，PL的点在l左边，PR的点在l的右边
4.MinDistance(PL, XL, YL); dL = PL中的最小距离
5.MinDistance(PR, XR, YR); dR = PR中的最小距离
6.d <- min(dL, dR)
7.对于在线l左边距离d范围内的每个点，检查l右边是否有点与它的距离小于d，如果存在则将d修改为新值

行4和行5是递归调用，每个对应于n/2规模的子问题，行2的排序需要O(nlogn)时间，行3的划分基于行2的排序，不需要额外的计算。行6需要的时间是常数，所以只需要看行7的计算复杂度。如下图

设左半部分的任意一点 $(x_i, y_i)$ ，在右边窄缝内距离该点小于d的点，其纵坐标一定在 $y_i + d$ 和 $y_i-d$ 之间，即右边窄缝里面的点一定位于右边长2d，宽d的框框里面，才有可能和 $(x_i, y_i)$ 的距离小于d。将这个空间分成6份，每一个小矩形的对角线的长度是5d/6，说明在每一个小矩形内最多只能有1个点，因此，右边和 $(x_i, y_i)$ 的距离小于d的点最多能有6个。对左边的每个点来说，检查另一边是否有点与它距离小于d，只需要检查常数个点。假设所有距线l不超过d的窄缝中的点构成集合S。只要S中点的纵坐标已经排好序（通过顺序扫描Y，检查每个点的橫坐标看它是否距l小于d。如果是，就把它放到S中。这需要额外O(n)时间，不超过行2的O(nlogn)排序时间），我们可以按照S中点的纵坐标顺序考察，比如说从具有最大纵坐标的点开始，顺序检查每个点。如果这个点的纵坐标是y，那么只需要检查那些纵坐标不小于y-d的点，看看其中是否存在分布在分布在另一侧，且与该点的距离小于d的点。上面已经证明在另一侧相关区域内的点不超过6个，而同侧区域的点也不会超过6个，因此这个检查之多需要考察12个纵坐标（如果高度是d，准确地说是不超过8个），这仅需要常数的时间。由于S的点数不超过n，因而对窄缝中所有点的检查需要O(n)时间。而这个时间也不超过行2的排序时间。于是，除了递归调用外，额外的工作时间是O(nlogn).