70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

1 <= n <= 45

思路：（动态规划）

• 定义一个数组 dp 存储上楼梯的方法数（为了方便讨论，数组下标从 1 开始），dp[i] 表示走到第 i 个楼梯的方法数目。
• 第 i 个楼梯可以从第 i-1 和 i-2 个楼梯再走一步到达，走到第 i 个楼梯的方法数为走到第 i-1 和第 i-2 个楼梯的方法数之和：
  $$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$$

改进: 考虑到 dp[i] 只与 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] 有关，因此可以只用两个变量来存储 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，使得原来的 O(N) 空间复杂度优化为 O(1) 复杂度。

代码:(Java)

public class climbstars {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = 2;
		System.out.println(climbStairs(n));
	}
	public static int climbStairs(int n) {
		int [] dp = new int[n + 1];
		dp[1] = 1;
		dp[2] = 2;
		for(int i = 3; i <= n; i++) {
			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
		}
		return dp[n];
    }
}

改进：

public class climbstars {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = 2;
		System.out.println(climbStairs(n));
	}
	public static int climbStairs(int n) {
	    if (n <= 2) {
	        return n;
	    }
	    int pre2 = 1, pre1 = 2;
	    for (int i = 2; i < n; i++) {
	        int cur = pre1 + pre2;
	        pre2 = pre1;
	        pre1 = cur;
	    }
	    return pre1;
	}
}

运行结果：

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣.