C++之平衡二叉搜索树查找

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大家好，我是PingdiGuo，今天我们来学习平衡二叉搜索树查找。

1.什么是二叉树

2.什么是二叉搜索树

3.什么是平衡二叉搜索树查找

4.如何使用平衡二叉搜索树查找

5.平衡二叉搜索树查找的用处

6.平衡二叉搜索树查找适合解决什么样的问题

7.注意事项

8.总结

1.什么是二叉树

二叉树(Binary Tree)是一种基本的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合。在二叉树中，每个节点最多含有两个子节点，分别称为左子节点（left child）和右子节点（right child）。根据节点的连接方式和节点间的关系，二叉树可以有不同的形态和用途。

以下是二叉树的一些关键特性：
1.根节点（Root Node）：二叉树中的顶级节点，没有父节点。

2.叶节点（Leaf Node / Terminal Node）：没有子节点的节点。

3.内部节点（Internal Node）：至少有一个子节点的节点。

4.空（或空树）：没有任何节点的二叉树。

5.二叉树的层级：从根开始算起，每一层包含的节点数量可以从1开始递增。

二叉树按照节点间的特定关系还可以进一步分类，比如：
- 满二叉树 (Full Binary Tree)：除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在最后一层。

- 完全二叉树 (Complete Binary Tree)：除了最后一层外，每一层都被完全填满，且最后一层的所有节点都尽可能地靠左排列。

- 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)：对于树中的任意节点，其左子树中所有节点的值小于该节点的值，而右子树中所有节点的值大于该节点的值。

而我们要学习的平衡二叉搜索树查找，就是在二叉搜索树之上的一种算法。

2.什么是二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）是一种特定数据结构。在二叉搜索树中，每个节点包含一个键（key）及其关联的值，且满足以下特性：

1. 每个节点的键大于其左子树中任意节点的键。
2. 每个节点的键小于其右子树中任意节点的键。
3. 左右子树也各自遵循相同的规则。

3.什么是平衡二叉搜索树查找

在了解平衡二叉搜索树查找之前，我们需要先来了解什么是二叉搜索树查找。

1. BST查找（二叉搜索树查找）：
- BST是一种基本的二叉树结构，它满足以下性质：
- 左子树上的所有节点的值都小于根节点的值。
- 右子树上的所有节点的值都大于根节点的值。
- 左右子树也分别为BST。
- 查找效率取决于树的形状。在最坏情况下，如果BST退化成链状结构（所有节点的左子树为空或右子树为空），查找的时间复杂度会达到O(n)，其中n为树中节点的数量。
- 优点：对于有序数据，查找、插入和删除的平均时间复杂度都是O(log n)；易于实现且直观。

链状结构：

2. 平衡二叉搜索树查找：
- 平衡二叉搜索树是一种具备自动平衡性的二叉搜索树，其中最常见的是AVL树和红黑树。
- 平衡二叉搜索树通过特定的平衡调整操作，例如旋转和调整节点的平衡因子，来保持树的平衡性。
- 查找、插入和删除操作的最坏时间复杂度均被保证为O(log n)，提升了性能的稳定性。
- 在大规模数据处理中，通过自平衡机制避免了极端情况下的性能下降。
- 平衡二叉搜索树相比于BST，实现更为复杂，需要考虑平衡调整操作和存储平衡因子，但能提供更稳定的查找性能。

总结来说，平衡二叉搜索树相比于普通的二叉搜索树能够提供更稳定的查找性能，并且适用于需要频繁插入和删除操作的场景。但它的实现要比BST复杂一些。在一些简单的应用场景中，BST也能满足要求，并且实现更简单。选择使用哪种树结构取决于具体需求和性能要求。

AVL树：

查找步骤：
1. 从根节点开始。
2. 比较当前节点的值与目标值的大小关系。
- 如果目标值等于当前节点的值，则查找结束，找到目标节点。
- 如果目标值小于当前节点的值，则递归地在当前节点的左子树中查找。
- 如果目标值大于当前节点的值，则递归地在当前节点的右子树中查找。
3. 重复步骤2，直到找到目标节点或者遍历到空节点为止。

示例：

假设我们有一个AVL树如下所示（以括号形式表示节点及其左右子树，其中数字代表节点值）：
5
/ \
3 7
/ \ \

2 4 8

现在我们要查找值为4的节点：
- 首先从根节点5开始查找。
- 因为4小于5，所以我们移动到左子树（节点3）。
- 接着比较4和3，因为4大于3，所以移动到节点3的右子树（节点4）。
- 发现节点4的值正好等于目标值4，查找结束。

因此，在这个例子中，我们成功找到了值为4的节点。在整个查找过程中，我们只需要经过两次比较就找到了目标节点，这正是AVL树高效查找能力的体现。

查找思想：
二叉搜索树的核心思想是“有序性”，即对于任意节点而言，其左子树中的所有节点值都小于该节点值，右子树中的所有节点值都大于该节点值。因此，查找过程可以通过比较节点值快速缩小查找范围，时间复杂度理论上可以达到O(log n)，其中n是树中节点的数量。

为何需要引入平衡性质？

尽管二叉搜索树具有较好的查找性能，但如果树的形状严重偏离平衡，比如变为链状结构，那么查找最坏情况下的时间复杂度会退化为O(n)。为了确保查找、插入和删除等操作的时间复杂度始终维持在接近O(log n)的水平，我们需要对二叉搜索树添加自平衡机制，这就是平衡二叉搜索树的设计初衷。

4.如何使用平衡二叉搜索树查找

1. 导入相应的头文件，如#include <set>或#include <map>，这些头文件中已经实现了平衡二叉搜索树。

2. 定义相应的平衡二叉搜索树对象，例如std::set<int>或std::map<int, std::string>。

3. 使用插入操作将数据插入到平衡二叉搜索树中，例如使用insert方法，如set.insert(value)或map.insert(std::make_pair(key, value))。

4. 使用find方法进行查找操作，找到指定的值或键，并返回对应的迭代器。

5. 对于map类型的平衡二叉搜索树，你可以通过迭代器访问其键值对，例如iter->first代表键，iter->second代表值。

以下是一个简单的示例代码：

#include <iostream>
#include <set>

int main() {
    std::set<int> mySet;
    
    // 插入数据
    mySet.insert(5);
    mySet.insert(10);
    mySet.insert(3);
    mySet.insert(7);
    mySet.insert(12);
    
    // 查找数据
    std::set<int>::iterator iter = mySet.find(7);
    if (iter != mySet.end()) {
        std::cout << "找到了值为7的元素" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "未找到值为7的元素" << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用std::set来创建一个平衡二叉搜索树，并插入了一些数据。然后，我们使用find方法来查找值为7的元素。最后，根据查找结果输出相应的提示信息。