[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1. 给定$ m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；
2. 选出一个参数 $W$；
3. 对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]\times \sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum _{i=1}^m{y}_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

样例输出 #1

10

提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 $1\le n,m\le 10$；

对于 $30% $的数据，有 $1\le n,m\le 500$ ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1\le n,m\le 10,000$ ；

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le n,m\le 200,000$，$0<w_i,v_i\le 10^6$，$0<s\le 10^{12}$，$1\le l_i\le r_i\le n$ 。

分析

首先，我们看看求什么：$|s-y|$，y是变量。
所以这是单峰函数，考虑三分，但是三分是在实数上的，所以我们再求出后需要在附近找点。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int M=1e6;
int n,m,s,a[M],b[M],W,sumn[M],sumv[M];
struct node{
	int w,v;
}p[M];
auto calc=[](int d){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(p[i].w>=d) sumn[i]=sumn[i-1]+1,sumv[i]=sumv[i-1]+p[i].v;
		else sumn[i]=sumn[i-1],sumv[i]=sumv[i-1];
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		sum+=(sumn[b[i]]-sumn[a[i]-1])*((sumv[b[i]]-sumv[a[i]-1]));
	
	return abs(sum-s);
};
auto check=[](int l,int r){
	int ll=calc(l),rr=calc(r);
	return ll<=rr;
};
auto solve=[](){
	int l=0,r=W,ans;
	while(l<=r){
		int lm=l+(r-l)/3,rm=r-(r-l)/3;
		if(check(lm,rm)) r=rm-1;
		else l=lm+1;
	}
	ans=calc(l);
	for(int i=-100;i<=100;i++)
	if(l+i>0) ans=min(ans,calc(l+i));
	return ans; 
};
signed main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].w>>p[i].v,W=max(p[i].w,W);
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]>>b[i];
	cout<<solve();
	return 0;
} 
}

不要忘了前缀和优化，但是在每次二分后都要初始化