圆的参数方程是如何推导的?

news2025/1/13 13:23:31

圆的参数方程是如何推导的?

  • 1. 圆的三种参数表示
  • 2. 三角函数万能公式
  • 3. 回到圆的参数方程

1. 圆的三种参数表示

  已知圆的第一种参数方程为:
x 2 + y 2 = r x^2+y^2=r x2+y2=r
  圆的图像如下:
在这里插入图片描述

  通过上图,不难理解,圆的参数方程还可以用三角函数表示,也就是第二种参数表示方式,x值为余弦值,y值为正弦值:
x = r cos ⁡ ( θ ) y = r sin ⁡ ( θ ) x=r\cos (\theta) \\ y=r\sin (\theta) x=rcos(θ)y=rsin(θ)
   θ \theta θ的取值自然是 0 − 2 π 0-2\pi 02π。那么除了用三角函数表示之外,圆的方程还可以表示如下,也就是第三种参数表示:
x = 1 − t 2 1 + t 2 r y = 2 t 1 + t 2 r x=\frac {1-t^2}{1+t^2}r \\[1em] y=\frac {2t}{1+t^2}r x=1+t21t2ry=1+t22tr
   t t t的取值是全体实数。那这第三种表达方式是怎么推导出来的呢?答案还是三角函数。

2. 三角函数万能公式

  在第二种参数表达中, sin ⁡ θ \sin \theta sinθ cos ⁡ θ \cos \theta cosθ可以分别写作:
sin ⁡ ( θ ) = 2 tan ⁡ θ 2 1 + tan ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ ( θ ) = 1 − tan ⁡ 2 θ 2 1 + tan ⁡ 2 θ 2 \sin (\theta)=\frac {2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\theta}{2}}\\[1em] \cos (\theta)=\frac {1-\tan^2 \frac {\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\thet

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