贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理、公式推导及matlab代码实现

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定义

直观理解

公式推导

一次贝塞尔曲线（线性公式）

二次贝塞尔曲线（二次方公式）

三次贝塞尔曲线（三次方公式）

n次贝塞尔曲线（一般参数公式）

代码实现

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贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导_bezier曲线-CSDN博客

贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理、公式推导及matlab代码实现-CSDN博客

贝塞尔曲线——这个是可以在线控制点来绘制贝塞尔曲线的网站

定义

贝塞尔曲线用于计算机图形绘制形状，CSS 动画和许多其他地方。

贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。

1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一些特性：

使用 $n$ 个控制点 $\{P_1,P_2,\cdots ,P_n\}$ 来控制曲线的形状
曲线通过起始点 $P_1$ 和终止点 $P_n$ ，接近但不通过中间点 $P_2\sim P_{n-1}$
曲线的阶次等于控制点的数量减一。对于两个点我们能得到一条线性曲线（直线），三个点 — 一条二阶曲线，四个点 — 一条三阶曲线。
曲线总是在控制点的凸包内部：

由于最后一个属性，在计算机图形学中，可以优化相交测试。如果凸包不相交，则曲线也不相交。因此，首先检查凸包的交叉点可以非常快地给出“无交叉”结果。检查交叉区域或凸包更容易，因为它们是矩形，三角形等（见上图），比曲线简单的多。

直观理解

Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接

Step 2. 在线段 $AB$ 和 $BC$ 上找到 $D$ 、 $E$ 两点，使得 $\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}$

Step 3. 连接 $DE$ ，并在 $DE$ 上找到 $F$ 点，使其满足 $\frac{DE}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}$ （抛物线的三切线定理）

Step 4. 找出符合上述条件的所有点

上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有 $n$ 阶贝塞尔曲线：

曲线	图示
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶

公式推导

一次贝塞尔曲线（线性公式）

定义：给定点 $P_0$ 、 $P_1$ ，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下式给出，且其等同于线性插值：

$B(t)=P_0+(P_0-P_1)t=(1-t)P_0+tP_1,t\in [0,1]$

其中，公式里的 $P_0$ 、 $P_1$ 同步表示为其 $x$ 或 $y$ 轴坐标。

假设 $P_0$ 坐标为 $(a.b)$ ， $P_1$ 坐标为 $(c,d)$ ， $P_2$ 坐标为 $(x,y)$ ，则有：

$\frac{x-a}{c-x}=\frac{t}{1-t}\Rightarrow x=(1-t)a+tc$

同理有：

$\frac{y-b}{d-y}=\frac{t}{1-t}\Rightarrow y=(1-t)b+td$

于是可将上式简写为：

$B(t)=(1-t)P_0+tP_1,t\in [0,1]$

二次贝塞尔曲线（二次方公式）

定义：二次贝塞尔曲线的路径由给定点 $P_0$ 、 $P_1$ 、 $P_2$ 的函数 $B(t)$ 给出：

$B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,t\in [0,1]$

假设 $P_0$ 、 $P_1$ 上的点为 $A$ ， $P_1$ 、 $P_2$ 上的点为 $B$ ， $AB$ 上的点为 $C$ （也即 $C$ 为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有：

$A=(1-t)P_0+tP_1$

$B=(1-t)P_1+tP_2$

$C=(1-t)A+tB$

将上式中 $A$ 、 $B$ 带入 $C$ 中，即可得到二次贝塞尔曲线的公式：

$B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,t\in [0,1]$

三次贝塞尔曲线（三次方公式）

同理可得三次贝塞尔曲线公式：

$B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3,t\in [0,1]$

n次贝塞尔曲线（一般参数公式）

定义：给定点 $P_0$ 、 $P_1$ 、 $\cdots ,P_n$ ，则 $n$ 次贝塞尔曲线由下式给出：

n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达：

$\mathrm{P}_{0}^{\mathrm{n}}=(1-\mathrm{t}) \mathrm{P}_{0}^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{tP}_{1}^{\mathrm{n}-1}, \mathrm{t} \in[0,1]$

进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式：

$\mathrm{P}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{k}}\left\{\begin{array}{l} \mathrm{P}_{\mathrm{i}}, \mathrm{k}=0 \\ (1-\mathrm{t}) \mathrm{P}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{k}-1}+\mathrm{tP}_{\mathrm{i}+1}^{\mathrm{k}-1}, \mathrm{k}=1,2, \ldots, \mathrm{n} ; \mathrm{i}=0,1, \ldots, \mathrm{n}-\mathrm{k} \end{array}\right.$

代码实现

首先来看不同阶数的贝塞尔曲线公式，来找共同点：

N=2: $B(t)=(1-t)P_0+tP_1,t\in [0,1]$

N=3: $B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,t\in [0,1]$

N=4: $B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3,t\in [0,1]$

可将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：
设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：

$a(1-t)^bt^cP_n$

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

b: $(N - 1)$ 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：

N=1:---------1
N=2:--------1 1
N=3:------1 2 1
N=4:-----1 3 3 1
N=5:---1 4 6 4 1
a 值的改变规则为： 杨辉三角

-------------------------------------------------------------------

理论基础有了，开始写代码

a 值用杨辉三角计算，b ，c 值在for 循环里计算， $P_n$ 从传入的点坐标读取。

step1：首先使用杨辉三角的方式生成a值

    N = len(control_points)
    ta = np.zeros((N, N))

    # 初始化杨辉三角左右两边的值为1
    for i in range(N):
        ta[i, 0] = 1
        ta[i, i] = 1

    # 计算杨辉三角
    for row in range(2, N):
        for col in range(1, row):
            ta[row, col] = ta[row-1, col-1] + ta[row-1, col]

step2：生成贝塞尔曲线上的点

    p = np.zeros((M, 2))

    for i in range(M):
        t = i / M  # 确定每一个点的比例
        for k in range(N):
            c = k  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            b = N - c - 1  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            a = ta[N-1, k]  # 分别确定 a, b, c 三个系数

            # 确定点的 x 和 y 坐标
            p[i, 0] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]
            p[i, 1] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]

完整代码


# N表示控制点个数，M表示时间步
import numpy as np
from scipy.special import comb

def calculate_bezier_curve(control_points, M=1000):
    N = len(control_points)
    ta = np.zeros((N, N))

    # 初始化杨辉三角左右两边的值为1
    for i in range(N):
        ta[i, 0] = 1
        ta[i, i] = 1

    # 计算杨辉三角
    for row in range(2, N):
        for col in range(1, row):
            ta[row, col] = ta[row-1, col-1] + ta[row-1, col]

    p = np.zeros((M, 2))

    for i in range(M):
        t = i / M  # 确定每一个点的比例
        for k in range(N):
            c = k  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            b = N - c - 1  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            a = ta[N-1, k]  # 分别确定 a, b, c 三个系数

            # 确定点的 x 和 y 坐标
            p[i, 0] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]
            p[i, 1] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]

    return p

# 示例调用
control_points = np.array([(0, 0), (1, 2), (2, 0)])
result_points = calculate_bezier_curve(control_points)

# 打印结果
print(result_points)

# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(result_points[:, 0], result_points[:, 1], label='Bezier Curve')

下图是一个生成的二阶贝塞尔曲线（有3个控制点）

另外一种实现方式：

def bezier_curve(points, n_times=1000):
    """
    Generate a Bezier curve from control points.
    Args:
    points (list of tuples): control points.
    n_times (int): number of time steps (resolution of the curve).
    Returns:
    list of tuples: points on the bezier curve.
    """
    n_points = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, n_times)

    curve = np.zeros((n_times, 2))
    for i in range(n_points):
        binom = comb(n_points - 1, i) # 计算二项式系数，即组合数。表示从 n_points - 1 个元素中选择 i 个元素的方式有多少种。
        curve += np.outer(binom * (t ** i) * ((1 - t) ** (n_points - 1 - i)), points[i])
    return curve

control_points1 = [(0, 0), (1, 2), (2, 0)]
bezier1 = bezier_curve(control_points1)
print(bezier1)