python：一元线性回归模型案例分析

news2025/4/4 4:21:05

一、案例分析背景

案例:
中国全体居民的消费水平与经济发展数量关系的分析

提出问题：
改革开放以来，随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也在不断增长。研究中国全体居民的消费水平与经济发展的数量关系，对于探寻居民消费增长的规律性，预测居民消费的发展趋势有重要意义。

理论分析：
影响居民人均消费水平的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是经济发展水平。从理论上说经济发展水平越高，居民消费越多。

变量选择：
被解释变量选择能代表城乡所有居民消费的“全体居民人均年消费水平”(元/人)；
解释变量选择表现经济增长水平的“人均国民生产总值（人均GDP）”（元/人）

研究范围：
1978年至2007年中国“全体居民人均年消费水平”与“人均国内生产总值（人均GDP）” 的时间序列数据

二、最小二乘估计OLS

在这里插入图片描述

# 读取数据
data = pd.read_excel('data.xlsx')
print(data.head)

# 准备数据
x = data['人均GDP(元)X']
y = data['全体居民消费水平(元)Y']

# 绘制散点图
plt.scatter(x, y)
plt.show()

在这里插入图片描述
从散点图可以看出居民消费水平(Y)和人均GDP (X)大体呈现为线性关系。为分析中国居民消费水平随人均GDP变动的数量规律性，可以建立
简单线性回归模型：

假定模型中随机扰动满足基本假定，可用OLS法。

简单线性回归的基本假定：
对模型和变量的假定、对随机扰动项u的假定（零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定）

# 添加截距列
X = sm.add_constant(x)

# 拟合模型ols
model = sm.OLS(y, X).fit()

# 输出结果
print(model.summary())

# 提取残差
print(model.resid)

# 残差的标准误差
std_error = model.resid.std() / np.sqrt(28)  # 计算残差标准误差
print("残差标准误差：", std_error)

在这里插入图片描述
由上图OLS模型结果可知：

模型方程为：y=224.3149+0.3864x
标准误差分别为：55.641、0.008
t值分别为：4.031、49.908
R方为0.988、F值为2491、样本n为30、自由度df为n-2=28

1、可决系数R方=0.988，说明模型整体上拟合好；
2、系数显著性检验：给定α=0.05，查T分布表，t0.025(28)=2.048，
因为t1=4.031>2.048，所以拒绝H0：β_1=0
因为t2=49.908>2.048，所以拒绝H0：β_1=0
3、用P值检验 α=0.05 >> p=0.0000，说明人均GDP对居民消费水平有显著影响；
4、经济意义检验：估计的解释变量的系数为0·3864，说明人均GDP每增加1元，人均年消费支出平均将增加0·3864
元。这符合经济理论的界定。

点估计

如果2008年人均GDP将比2007年增长16.2%将达到，22001元/人，利用所估计的模型可预测2008年居民可能达到的年消费水平。
在这里插入图片描述

区间估计

平均值区间预测上下限：
在这里插入图片描述

平均值区间预测区间预测

描述性统计信息
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三、建模

X = data.iloc[:, 2].values.reshape(-1, 1)  # 特征变量
y = data.iloc[:, 1].values  # 目标变量

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
model = LinearRegression()

# 在训练集上训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 在测试集上进行预测
prediction = model.predict(X_test)
print(prediction)

在这里插入图片描述

coef = model.coef_                #获得该回该方程的回归系数与截距
intercept = model.intercept_
print("预测方程回归系数：", coef)
print("预测方程截距：", intercept)
score = model.score(X_test, y_test)    #对得到的模型打分
print('模型的预测分', score)

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模型方程为：y=220.2205+0.3862x

# 对原始值和预测值进行绘图
from matplotlib import pyplot as plt
plt.scatter(X_test, y_test, color='black', label='原始值')
plt.scatter(X_test, prediction, color='red', label='预测值')
plt.show()

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# 绘制残差图
err = y_test - prediction  # 求残差
plt.scatter(X_test, err, color='blue')
plt.axhline(y=0, color='black', linestyle='--')  # 添加水平参考线
plt.show()

在这里插入图片描述

四、模型评估

from sklearn.metrics import r2_score
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error

# R-squared
r_squared = r2_score(y_test, prediction)
print(f"R-squared: {r_squared}")

# 计算MSE
mse = mean_squared_error(y_test, prediction)
print(f"Mean Squared Error (MSE): {mse}")

# 计算MAE
mae = mean_absolute_error(y_test, prediction)
print(f"Mean Absolute Error (MAE): {mae}")