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[NOIP2018 提高组] 旅行

题目描述

小 Y 是一个爱好旅行的 OIer。她来到 X 国，打算将各个城市都玩一遍。

小 Y 了解到，X 国的 $n$ 个城市之间有 $m$ 条双向道路。每条双向道路连接两个城市。 不存在两条连接同一对城市的道路，也不存在一条连接一个城市和它本身的道路。并且， 从任意一个城市出发，通过这些道路都可以到达任意一个其他城市。小 Y 只能通过这些 道路从一个城市前往另一个城市。

小 Y 的旅行方案是这样的：任意选定一个城市作为起点，然后从起点开始，每次可 以选择一条与当前城市相连的道路，走向一个没有去过的城市，或者沿着第一次访问该 城市时经过的道路后退到上一个城市。当小 Y 回到起点时，她可以选择结束这次旅行或 继续旅行。需要注意的是，小 Y 要求在旅行方案中，每个城市都被访问到。

为了让自己的旅行更有意义，小 Y 决定在每到达一个新的城市（包括起点）时，将它的编号记录下来。她知道这样会形成一个长度为 $n$ 的序列。她希望这个序列的字典序 最小，你能帮帮她吗？ 对于两个长度均为 $n$ 的序列 $A$ 和 $B$，当且仅当存在一个正整数 $x$，满足以下条件时， 我们说序列 $A$ 的字典序小于 $B$。

• 对于任意正整数 $1\le i<x$，序列 $A$ 的第 $i$ 个元素 $A_i$ 和序列 $B$ 的第 $i$ 个元素 $B_i$ 相同。
• 序列 $A$ 的第 $x$ 个元素的值小于序列 $B$ 的第 $x$ 个元素的值。

输入格式

输入文件共 $m+1$ 行。第一行包含两个整数 $n,m(m\le n)$，中间用一个空格分隔。

接下来 m 行，每行包含两个整数 $u,v(1\le u,v\le n)$ ，表示编号为 $u$ 和 $v$ 的城市之 间有一条道路，两个整数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出文件包含一行，$n$ 个整数，表示字典序最小的序列。相邻两个整数之间用一个 空格分隔。

样例 #1

样例输入 #1

6 5 
1 3 
2 3 
2 5 
3 4 
4 6

样例输出 #1

1 3 2 5 4 6

样例 #2

样例输入 #2

6 6 
1 3 
2 3 
2 5 
3 4 
4 5 
4 6

样例输出 #2

1 3 2 4 5 6

提示

【数据规模与约定】

对于 $100\%$ 的数据和所有样例， $1\le n\le 5000$ 且 $m=n-1$ 或 $m=n$ 。

对于不同的测试点， 我们约定数据的规模如下：

算法思想

根据题目描述：

• 任意选定一个城市作为起点，然后从起点开始，每次可以选择一条与当前城市相连的道路，走向一个没有去过的城市，或者沿着第一次访问该 城市时经过的道路后退到上一个城市
• 在旅行方案中，每个城市都被访问到

访问过程的就是一个DFS序列，要求的其中字典序最小的序列。

从数据范围来看，有$m=n-1$ 或 $m=n$两种情况，由于从任意一个城市出发，通过这些道路都可以到达任意一个其他城市，也就是说：

• 当$m=n-1$ 时，城市与道路构成一棵树
• 当$m=n$时，就是在树上在加一条边，构成基环树，也叫环套树，是一种有$n$个点$n$条边的图。

树的深度优先遍历

先处理$m=n-1$的情况，即对一棵树进行DFS。为了得到字典序最小的DFS序列，就必须从$1$号点开始遍历，每次按编号从小到大的顺序遍历所有子节点。

时间复杂度

DFS遍历树的时间复杂度为$O(n+m)$。

代码实现（60分）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5005;
vector<int> g[N];
vector<int> ans(N, N); //答案序列全部初始化为N
int cnt = 0;
bool st[N];
int n, m;
void dfs(int u)
{
    st[u] = 1;
    ans[cnt ++] = u;
    for(int v : g[u]) //遍历子结点
    {
        if(st[v]) continue;
        dfs(v);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        g[a].push_back(b), g[b].push_back(a); //连接a和b的双向边
    }
    //对每个节点的子节点按编号从小到大排序
    for(int i = 1; i <= n; i ++) sort(g[i].begin(), g[i].end());
    dfs(1);
    for(int i = 0; i < n; i ++) cout << ans[i] << " ";
    return 0;
}

基环树

在上述实现中，只会遍历$n$个点和与其相邻的的$n-1$条边。当$m=n$时，就是在树上在加一条边，即树中有一个环，构成基环树。那是否要先把环找出来再处理呢？

从数据范围来看，$1\le n\le 5000$ ，$n$比较小，可以枚举一条构成环的边，将其删除；然后DFS求出最小字典序即可。

在DFS过程中，通过维护当前序列和最优序列的大小关系可以进行最优性剪枝。如果当前序列的字典序一定大于最优序列，则直接退出。

时间复杂度

• 枚举边的时间复杂度为$O(m)$
• DFS遍历树的时间复杂度为$O(n+m)$

总的时间复杂度为$O(n^2)$。

代码实现（100分）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 5005;
vector<int> g[N];
vector<int> ans(N, N); //答案序列，全部初始化为N
vector<int> cur(N); //存储当前搜索序列
int cnt, cmp; 
bool st[N];
int n, m, du, dv;
vector<PII> e;
void dfs(int u)
{
    if(cmp == 0) //当前序列和答案序列相等
    {
        if(u < ans[cnt]) cmp = -1; //当前序列字典序更小，继续搜索
        if(u > ans[cnt]) { cmp = 1; return ; } //当前序列字典序更大，剪枝
    }
    st[u] = 1; //标记已访问
    cur[cnt ++] = u; //存储访问的城市编号
    for(int v : g[u]) //遍历子结点
    {
        if(st[v] || (u == du && v == dv) || (u == dv && v == du)) continue;
        dfs(v);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        g[a].push_back(b), g[b].push_back(a); //连接a和b的双向边
        e.push_back({a, b}); //存边
    }
    //对每个节点的子节点按编号从小到大排序
    for(int i = 1; i <= n; i ++) sort(g[i].begin(), g[i].end());
    if(m == n - 1) 
    {
        dfs(1);
        ans = cur;
    }
    else
    {
        for(int i = 0; i < m; i ++) //枚举要删除的边
        {
            du = e[i].first, dv = e[i].second;
            //cmp用来比较搜索序列和答案序列的字典序，初始为0表示相等
            cnt = cmp = 0;
            memset(st, 0, sizeof st);
            dfs(1);
            if(cnt == n && cmp < 0) //遍历完所有的点，并且搜索序列的字典序更小
                ans = cur;
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i ++) cout << ans[i] << " ";
    return 0;
}