目录
二分法简介
解题步骤
整数二分
模板
例题
输入描述
输出描述
样例输入输出
解
浮点二分
模板
二分答案（最重要）
模板
例题 跳石头
题目描述
输入描述
输出描述
输入输出样例
解
例题 肖恩的苹果林
输入描述
输出描述
解
测试
例题 肖恩的乘法表
解
二分法简介
二分法是一种高效的查找方法，它通过将问题的搜索范围一分为二（两边具有明显的区别），迭代的缩小搜索范围，直到找到目标或确定目标不存在。
二分法使用于有序数据集合，并且每次迭代可以将搜索范围缩小一半。
二分法本质也是枚举，但和暴力枚举不同，二分法利用数据结构的单调性减少了很多不必要的枚举，从而极大的提高了效率，一般可以将O(n)的枚举优化到O(logn)
解题步骤
1.研究并发现数据结构(或答案变量)的单调性。
2.确定最大区间[l,r]，确保分界点一定在里面，具有一定细节：若以r作为答案，那么答案区间在[l+1,r],若以l为答案，那么答案区间在[l,r-1]
3.确定check函数，一般为传入mid（区间中某个下标），返回mid所属区域或返回一个值，当check函数较简单时可直接判断
4.计算中点mid = （1+r）/2，用check判断该移动l或r指针，具体移动哪个需要根据单调性以及要求的答案来判断。
5.返回l或r，根据题意判断
整数二分
整数二分就是在一个已有的有序数组上，进行二分查找，一般为找出某个值的位置，或者是找出分界点。
这个数组肯定是开的下的，其数组大小一般在1e6以内。
模板
//找到升序数组a中的x第一次出现的位置
int l = 0,r = 1e9;
//注意这里的判断，这样可以保证l，r最终一定收敛到分界点
while(l+1!=r)//l r相邻退出
{
int mid = (l+r)/2;
//如果a为升序，说明mid偏大了，需要减小mid，就只能将r变小，即r = mid
if(a[mid]>=x)r = mid;
else l = mid;
}
cout<<r<<endl;例题
给定一个数组，其采用如下代码定义
int data[200];
for(i = 0;i < 200;i++)data[i]=4*i+6;先给定某个数（在data数组中），请你求出它在数组中的位置。
输入描述
输入一个待查找的整数（该整数一定在数组data中）
输出描述
输出该整数在数组中的指标
样例输入输出
输入262 输出64
解
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int data[200];
for (int i = 0; i < 200; i++)
{
data[i] = 4 * i + 6;
}
int x; cin >> x;
int l = -1, r = 199;//为什么是-1 因为最后要返回r r的范围是l+1到r 即0到199
while (l + 1 != r)
{
int mid = (l + r) >> 1;//二进制右移一位 相当于÷2
if (data[mid] >= x)r = mid;
else l = mid;
}
cout << r << endl;
system("pause");
return 0;
}浮点二分
浮点二分不再是在有序数组上做二分查找，而是在某个实数范围内进行查找，因为实数域本身就是单调的，所以也满足单调性，和整数二分主要区别就在于使用的变量类型、退出的判断条件不同。
模板
//计算单调函数f(x)的零点
double l = 0,r = 1e9,eps = 1e-6;
//注意这里的判断条件，这样可以保证l，r最终一定收敛到分界点
while(r-l>=eps)//eps是一个极小量，设置为1e-6较合适
{
double mid = (l+r)/2;
//f(x)单调递增，f(mid)>=0,说明mid偏大了，需要减小mid，就只能将r变小，即r = mid
if(f(mid))>=0)r = mid;
else l = mid;
}
//最后返回l，r差别不大
cour<< r <<endl;二分答案（最重要）
二分答案是二分法中最常见也最重要的题型，考察的比较灵活，需要选手从题目中发现某个单调的函数，然后对其二分
常见的模型是：
二分框架（时间复杂度O(logm)+check函数(时间复杂度O(n))
一般情况下，我们会将答案进行二分，然后再枚举出某个可能解后判断其是否可以更优或者是否合法，从而不断逼近最优解
二分答案的题的特征：如果已知某个答案，很容易判断其是否合法或更优。某些贪心问题可能可以转化成二分答案问题
模板
bool check(int mid)
{
bool res = true;
//do sth to check the authority of mid
return res;
}
int main()
{
int l = 0,r = 1e9;
while(l+1!=r)
{
int mid = (l+r)/2;
//具体写法需要根据题意修改
if(check(mid))l = mid;
else r= mid;
}
cout<<l<<endl;例题 跳石头
题目描述
一年一度的"跳石头"比赛又要开始了！
这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。
为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。
输入描述
输入文件第一行包含三个整数 L，N，M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。
接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 （0<Di<L）表示第i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。
其中，0≤5×104，1≤1090≤M≤N≤5×104，1≤L≤109
输出描述
输出只包含一个整数，即最短跳跃距离的最大值。
输入输出样例
输入
25 5 2
2
11
14
17
21
输出
4
解
#include<iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e4 + 9;
int a[N], L, n, m;
int check(int mid)
{
//当最远跳跃距离为mid的情况下，至少需要搬走多少块石头
int res = 0,lst=0;
for (int i = 1,lst = 0; i <= n; i++)//lst表示上一块石头的位置
{
if (a[i] - a[lst] < mid)
{
res++;
continue;
}
lst = i;
}
if (L - a[lst] < mid)
{
return m + 1;//这种情况不行，因为最后一块石头不能被搬走
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> L >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];
ll l = 0, r = 1e9 + 5;
while (l + 1 != r)
{
ll mid = (l + r) / 2;
if (check(mid) <= m)l = mid;
else r = mid;
}
cout << l << endl;
return 0;
}例题 肖恩的苹果林
肖恩有一大片农田，农田中有 N 个可以种植苹果树的位置。这些位置都分布在一条直线上，坐标是 x1,x2,..,xN 。肖恩得到了 M 个树苗，需要种到农田中的对应位置.
我们都知道两棵苹果树种的距离如果太近的话会互相争抢养分，导致两棵苹果树都会营养不良。所以肖恩认为相邻两棵苹果树之间的最近距离越大越好，那么请你帮肖恩算算最大的最近距离是多少?
输入描述
第一行输入两个整数N和M，两个数的意义和题面中描述相同
第二行输入N个数字，第i个数字 xi表示第i个可以种植苹果树的位置
输出描述
输出一个数字表示最大的最近距离
解
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e4 + 9;
int x[N], n, m;
int check(int mid)
{
int res = 0,lst=0;
for (int i = 1, lst = 0; i <= n; i++)
{
if (lst && x[i] - x[lst] < mid)continue;
res++, lst = i;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >>n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> x[i];
sort(x + 1, x + 1 + n);
ll l = 0, r = 1e9 + 5;
while (l + 1 != r)
{
ll mid = (l + r) / 2;
if (check(mid) >= m)l = mid;//最多能种多少树 大于m 说明间隙小了 要增大
else r = mid;
}
cout << l << endl;
return 0;
}测试
5 3
1 3 4 8 9
3例题 肖恩的乘法表
解
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<windows.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e4 + 9;
ll n, m, k;
ll check(ll mid)
{
ll res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)//每一行多少个数字<mid
{
res += min(m, mid / i);
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >>n >> m>>k;
ll l = 0, r = 1e14;
while (l + 1 != r)
{
ll mid = (l + r) >> 1;
if (check(mid) >= k)r = mid;
else l = mid;
}
cout << r << endl;
return 0;
}
