Problem: 120. 三角形最小路径和

题目描述

思路

Problem:64. 最小路径和

本题目可以看作是在上述题目的基础上改编而来，具体的思路：

1.记录一个int类型的大小的$n乘n$的数组（其中$n$为数组triangle的行数）用于记录每一个当前阶段的最小路径和
2.大体上可以依据题意得出动态转移方程为dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);（其中i与j为遍历数组时的下标）即当前位置的最小路径和为其相邻左侧位置和左上方位置中的最小值加上数组triangle当前位置的值；
3.我们需要单独处理dp数组的第一列和dp主对角线位置的值（由于dp可以看作为一个方阵，主对角线即为下标（i，i）位置的值）：第一列依次向下累加；主对角线位置沿主对角线向下累加
3.我们仔细思考便可注意到，由于我们需要对主对角线的元素做一个单独的处理，而该处理会使得dp数组中最后一个位置不一定是最小路径和！！！（我们很容易想到，由于本题目是在求取三角形最小路径和因为我们在单独处理主对角线时不是由其相邻的正上方与正左侧共同得出所以在往下的动态转移过程中就不能确保当前位置就是当前整个决策阶段的最小值，但是我们可以得出对于整个阶段的最小值是存在于dp数组的最后一行的）所以我们求出dp数组中最后一行的最小值，即为给定三角形的最小路径和

解题方法

1.得出数组triangle的大小int n = triangle.size();；并定义int数组dp大小为$n行n列$
2.初始化dp数组第1行第1列位置(索引下标为（0，0）)的值dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
3.从dp数组第二行开始执行动态转移方程，同时处理第一列和dp主对角线位置的值
4.求取dp数组最后一行的最小值并返回。

复杂度

时间复杂度:

$O(N\times N)$其中$N$为数组triangle的大小

空间复杂度:

$O(N\times N)$

Code

class Solution {
    /**
     * The minimum path sum of triangles is obtained by dynamic programming
     * @param triangle Given martix
     * @return int
     */
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        //Record the sum of the shortest paths
        int[][] dp = new int[n][n];
        dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            //Handle the Column 0
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0);
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            //Dispose of (i, i)
            dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (dp[n - 1][i] < min) {
                min = dp[n - 1][i];
            }
        }
        return min;
    }
}