遗传算法总结（迭代版本2：附带MATLAB例题代码）

news2024/9/28 11:22:55

目录

基本概念：

具体例子

1.我们先对图像进行抽象化：

2.我们将得到的六串数字进行扁平化处理：

3.解释即后续操作​编辑

基本步骤：

总结

例题1：

例题2：

基本概念：

  1. 染色体（Chromosome）：染色体是遗传算法中表示解决方案的数据结构。它是由一系列基因组成的，每个基因对应着解决方案的一个组成部分。

  2. 基因（Gene）：基因是染色体中的一个元素，它对应着解决方案的一个特定部分。基因可以是二进制、整数或实数等不同的类型（这里的基因【解决方案的一小部分】取决于想将染色体【即解决方案】划分成由多少个相同小部分的组成），具体取决于问题的性质。

  3. 种群（Population）：种群是由多个个体组成的集合，每个个体都表示解决方案的一个可能性。种群中的个体通过进化操作进行交叉和变异，以产生新的个体。

  4. 适应度函数（Fitness Function）：适应度函数用于衡量个体的优劣程度（即我们给出的函数的适应程度好不好）。它将染色体映射到一个适应度值，该值指示了染色体对问题的解决程度。适应度函数的设计取决于具体的问题和优化目标。

  5. 选择操作（Selection）：选择操作用于选择优良个体作为下一代的父代。选择操作通常根据个体的适应度值进行选择，使适应度较高的个体有更高的概率被选中（即在进行交叉和突变之后得到的种群，选择适应程度高的个体）。

  6. 交叉操作（Crossover）：交叉操作是通过交换两个染色体的部分基因（即解决方案的一部分），产生新的个体。通过交叉操作，可以将两个个体的优良特征进行组合，产生更好的解决方案。

  7. 突变操作（Mutation）：突变操作是在染色体中引入随机变化，以增加种群的多样性。突变操作有助于避免算法陷入局部最优解，并探索搜索空间中的新解。

  8. 进化（Evolution）：进化是指种群中的个体通过选择、交叉和突变等操作逐代演化的过程。通过不断迭代优化，种群中的个体逐渐适应环境，并产生更好的解决方案。

  9. 最优解（Optimal Solution）：在遗传算法中，最优解是指具有最佳适应度值的个体或染色体，它代表了问题的最优解决方案。

具体例子

为了进一步的理解这里给出具体的例子：

先举一个实际例子采用b站【数之道14】六分钟时间，带你走近遗传算法_哔哩哔哩_bilibili视频所给出的例子：

 ​

就比如说我们现在要找出最适应的解决方案，能够成功展示上面的图像。

1.我们先对图像进行抽象化：

将整个图形化成相同的6*6大小的小方格，其中对于白色格子我们用0表示，黑色格子我们用1来表示，那么我们就可以把问题最终的图形抽象为六串数字：

第一行：0 0 0 0 0 0 

第二行：0 1 0 0 1 0

第三行：0 0 0 0 0 0

第四行：1 0 0 0 0 1

第五行：0 1 1 1 1 0

第六行：0 0 0 0 0 0
我们将该六串数字再重新表示一下并与原图进行比较，我们可以发现两者表示含义一样：

2.我们将得到的六串数字进行扁平化处理：

得到：0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

我们就将该得到的一串数字称为染色体，而基因则是对于其中的一个数字进行描述。

扁平化处理过程样例如下：

3.解释即后续操作

我们将扁平化后的一串数字称为原图染色体 。

基本步骤：

1.随机生成一个包含10个染色体的祖先群落：

2.随机选择两个染色体进行交叉操作，即截取染色体的一部分基因与另一个染色体进行交换，互换后得到两个新染色体（由两个原来的染色体，经过互换完成后形成的两个新染色体）

3.随机选取一个染色体进行突变操作，即在随机位置进行基因变异操作（例如让0变1，或者1变0），突变后得到一个新染色体。

4.将所有的染色体分别和原图染色体求基因差值的平方和（求得的即适合度值），对于适合值进行排序（现在有13个染色体），取最小的10个染色体作为新的群落。

重复上面的步骤，当我们每进行一次上面得到步骤，将得到的最小的染色体的逆扁平化，然后绘制成图片的时候，就可以得到染色体逐步进化的过程了。

总结

遗传算法是一个通过不断试错、交叉和突变的过程来更新种群并寻找最优解决方案的优化方法。我们可以观察到它是一个不断试错的过程。

交叉操作通过交换染色体的部分基因，促使优良特征在种群中传递和组合，从而产生更优的解决方案。这种信息交流可以帮助种群逐渐趋向最优解。

突变操作引入随机性，使得染色体产生变化。它有助于避免算法陷入局部最优解，通过引入新的个体，扩大搜索空间，有机会发现更好的解决方案。

虽然交叉和突变操作对于遗传算法的成功至关重要，但它们不是万能的。在某些情况下，交叉和突变可能无法有效地改进解决方案。在这种情况下，可能需要考虑其他策略，如改变选择操作、调整适应度函数或引入其他启发式方法。

例题1：

假设我们要使用遗传算法求解以下的多元多峰函数问题：

目标函数：f(x1, x2) = sin(x1) + cos(x2)，其中 -10 ≤ x1 ≤ 10，-10 ≤ x2 ≤ 10。

我们可以使用遗传算法来寻找使目标函数取得最大值的解。

% 目标函数：f(x1, x2) = sin(x1) + cos(x2)，其中 -10 ≤ x1 ≤ 10，-10 ≤ x2 ≤ 10。

% 遗传算法参数设置
populationSize = 50; % 种群大小
chromosomeLength = 2; % 染色体长度
generationCount = 100; % 迭代次数
mutationRate = 0.01; % 变异率

% 初始化种群
% 生成一个大小为 populationSize 行 chromosomeLength 列的随机矩阵
% 矩阵中的元素是从0到1之间均匀分布的随机小数。然后乘以 20
% 将随机数的范围扩大到0到20之间。最后减去 10，将随机数的范围调整到-10到10之间
population = rand(populationSize, chromosomeLength) * 20 - 10;

% 迭代优化过程
for generation = 1:generationCount
    % 计算适应度
    fitness = calculateFitness(population);
    
    % 选择操作
    selectedPopulation = selection(population, fitness);
    
    % 交叉操作
    offspringPopulation = crossover(selectedPopulation);
    
    % 变异操作
    mutatedPopulation = mutation(offspringPopulation, mutationRate);
    
    % 更新种群
    population = mutatedPopulation;
end

% 最优解
% 从种群中选择出第一个个体的所有基因
% 将这些基因赋值给 bestIndividual
% 即得到了种群中适应度最好的个体的染色体表示。
bestIndividual = population(1,:);
bestFitness = calculateFitness(bestIndividual);

% 打印结果
disp(['最优解: ', num2str(bestIndividual)]);
disp(['最优适应度: ', num2str(bestFitness)]);

% 计算适应度函数
function fitness = calculateFitness(population)
    % 计算每个个体的适应度值
    % 这里根据目标函数进行计算
    % fitness = sin(x1) + cos(x2);
    fitness = sin(population(:,1)) + cos(population(:,2));
end

% 选择操作（使用轮盘赌选择）
function selectedPopulation = selection(population, fitness)
    % 根据适应度值进行选择操作
    % 这里使用轮盘赌选择方法

    % 计算适应度值的总和 fitnessSum，用于后续计算选中概率。
    fitnessSum = sum(fitness);
    % 计算每个个体被选中的概率 probabilities，即每个个体适应度值除以适应度值总和。
    probabilities = fitness / fitnessSum;
    % 计算累积概率 cumulativeProbabilities，通过对选中概率进行累加得到的向量。
    cumulativeProbabilities = cumsum(probabilities);

    % 创建一个与种群大小相同的空矩阵 selectedPopulation，用于存储选择后的个体。
    selectedPopulation = zeros(size(population));
    for i = 1:size(population, 1)
        r = rand();
        % 在累积概率向量 cumulativeProbabilities 中找到第一个大于等于 r 的索引值 selectedIdx。
        selectedIdx = find(cumulativeProbabilities >= r, 1);
        % 将种群中索引为 selectedIdx 的个体复制到 selectedPopulation 中的对应位置。
        selectedPopulation(i,:) = population(selectedIdx,:);
    end
end

% 交叉操作（使用单点交叉）
function offspringPopulation = crossover(selectedPopulation)
    % 根据选择的个体进行交叉操作
    % 这里使用单点交叉方法

    % 创建一个与选择后种群大小相同的空矩阵 offspringPopulation，用于存储交叉后的后代个体。
    offspringPopulation = zeros(size(selectedPopulation));
    for i = 1:2:size(selectedPopulation, 1)
        % 获取第一个父母个体 parent1 和第二个父母个体 parent2。
        parent1 = selectedPopulation(i,:);
        parent2 = selectedPopulation(i+1,:);
        
        % 随机选择一个交叉点 crossoverPoint，位于染色体的基因位置上，用于划分交叉片段。
        crossoverPoint = randi([1 size(selectedPopulation, 2)]);
        
        % 通过将 parent1 的交叉点之前的基因与 parent2 的交叉点之后的基因连接，得到第一个后代个体 offspring1。
        offspring1 = [parent1(1:crossoverPoint) parent2(crossoverPoint+1:end)];
        % 通过将 parent2 的交叉点之前的基因与 parent1 的交叉点之后的基因连接，得到第二个后代个体 offspring2。
        offspring2 = [parent2(1:crossoverPoint) parent1(crossoverPoint+1:end)];
        
        % 将 offspring1 和 offspring2 分别存储到 offspringPopulation 中对应的位置。
        offspringPopulation(i,:) = offspring1;
        offspringPopulation(i+1,:) = offspring2;
    end
end

% 变异操作（使用位变异）
function mutatedPopulation = mutation(offspringPopulation, mutationRate)
    % 对交叉后的个体进行变异操作
    % 这里使用位变异方法

    % 创建一个与交叉后个体集合大小相同的矩阵 mutatedPopulation，用于存储变异后的个体。
    mutatedPopulation = offspringPopulation;
    for i = 1:size(mutatedPopulation, 1)
        for j = 1:size(mutatedPopulation, 2)
            % 如果 rand() 小于变异率 mutationRate，则进行变异操作。 
            if rand() < mutationRate
                mutatedPopulation(i,j) = rand() * 20 - 10;
            end
        end
    end
end

例题2：

假设我们要使用遗传算法求解以下的多元多峰函数问题：

目标函数：f(x1, x2) = -[(1 - x1)^2 + 100 * (x2 - x1^2)^2]，其中 -2 ≤ x1 ≤ 2，-1 ≤ x2 ≤ 3。

该函数被称为Rosenbrock函数，是一个经典的多峰函数，具有一个全局最优解和多个局部最优解。

% 目标函数：f(x1, x2) = -[(1 - x1)^2 + 100 * (x2 - x1^2)^2]，其中 -2 ≤ x1 ≤ 2，-1 ≤ x2 ≤ 3。
% 该函数被称为Rosenbrock函数，是一个经典的多峰函数，具有一个全局最优解和多个局部最优解。

% 遗传算法参数设置
populationSize = 50; % 种群大小
chromosomeLength = 2; % 染色体长度
generationCount = 100; % 迭代次数
mutationRate = 0.01; % 变异率

% 初始化种群
population = rand(populationSize, chromosomeLength) * 4 - 2;

% 迭代优化过程
for generation = 1:generationCount
    % 计算适应度
    fitness = calculateFitness(population);
    
    % 选择操作
    selectedPopulation = selection(population, fitness);
    
    % 交叉操作
    offspringPopulation = crossover(selectedPopulation);
    
    % 变异操作
    mutatedPopulation = mutation(offspringPopulation, mutationRate);
    
    % 更新种群
    population = mutatedPopulation;
end

% 最优解
bestIndividual = population(1,:);
bestFitness = calculateFitness(bestIndividual);

% 打印结果
disp(['最优解: ', num2str(bestIndividual)]);
disp(['最优适应度: ', num2str(bestFitness)]);

% 计算适应度函数
function fitness = calculateFitness(population)
    % 计算每个个体的适应度值
    % 这里根据目标函数进行计算
    x1 = population(:,1);
    x2 = population(:,2);
    fitness = -(1 - x1).^2 - 100 * (x2 - x1.^2).^2;
end

% 选择操作（使用轮盘赌选择）
function selectedPopulation = selection(population, fitness)
    % 根据适应度值进行选择操作
    % 这里使用轮盘赌选择方法
    fitnessSum = sum(fitness);
    probabilities = fitness / fitnessSum;
    cumulativeProbabilities = cumsum(probabilities);
    
    selectedPopulation = zeros(size(population));
    for i = 1:size(population, 1)
        r = rand();
        selectedIdx = find(cumulativeProbabilities >= r, 1);
        selectedPopulation(i,:) = population(selectedIdx,:);
    end
end

% 交叉操作（使用单点交叉）
function offspringPopulation = crossover(selectedPopulation)
    % 根据选择的个体进行交叉操作
    % 这里使用单点交叉方法
    offspringPopulation = zeros(size(selectedPopulation));
    for i = 1:2:size(selectedPopulation, 1)
        parent1 = selectedPopulation(i,:);
        parent2 = selectedPopulation(i+1,:);
        
        crossoverPoint = randi([1 size(selectedPopulation, 2)]);
        
        offspring1 = [parent1(1:crossoverPoint) parent2(crossoverPoint+1:end)];
        offspring2 = [parent2(1:crossoverPoint) parent1(crossoverPoint+1:end)];
        
        offspringPopulation(i,:) = offspring1;
        offspringPopulation(i+1,:) = offspring2;
    end
end

% 变异操作（使用位变异）
function mutatedPopulation = mutation(offspringPopulation, mutationRate)
    % 对交叉后的个体进行变异操作
    % 这里使用位变异方法
    mutatedPopulation = offspringPopulation;
    for i = 1:size(mutatedPopulation, 1)
        for j = 1:size(mutatedPopulation, 2)
            if rand() < mutationRate
                mutatedPopulation(i,j) = rand() * 4 - 2;
            end
        end
    end
end

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