代码随想录-刷题第四十九天

121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：121. 买卖股票的最佳时机

思路：动态规划五步曲

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金，dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。

一开始现金是0，那么加入第i天买入股票，现金就是 -prices[i]，这是一个负数。

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态
递推公式：

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]

第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]

第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：dp[i - 1][0] + prices[i]

同样dp[i][1]取最大的，

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])
初始化：

由递推公式可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能由前一天推出来，所以dp[0][0] = -prices[0]

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票即现金就是0，所以dp[0][1] = 0
遍历顺序：由递推公式可以看出，需要从前向后遍历。
举例推导dp数组

以输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
        int[][] dp = new int[len][2];
        
        // 初始化
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
}

122. 买卖股票的最佳时机 II

题目链接：122. 买卖股票的最佳时机 II

思路：本题和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意任何时候最多只能持有一股股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

在动规五步曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和上一题相同。

dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

在121. 买卖股票的最佳时机中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：dp[i - 1][0] + prices[i]

注意这里与上一题是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
        int[][] dp = new int[len][2];
        
        // 初始化
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III

思路：这道题目相对前两题难了不少。关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

动态规划五步曲：

确定dp数组以及下标的含义

一天有五个状态
1. 没有操作（其实也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是容易陷入的误区。

例如 dp[i][1]，并不是说第i天一定买入股票，有可能第i-1天就买入了，那么 dp[i][1]延续买入股票的这个状态。
确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i - 1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
dp数组初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0]

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？

其实可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就相应减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0]

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0
确定遍历顺序

由递推公式可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大的一定是最后一次卖出。

也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。所以最终最大利润是dp[4][4]。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        /*
         * 定义 5 种状态:
         * 0: 没有操作, 1: 第一次买入, 2: 第一次卖出, 
         * 3: 第二次买入, 4: 第二次卖出
         */
        int[][] dp = new int[len][5];

        // 初始化
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        return dp[len - 1][4];
    }
}

188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV

思路：本题是上一题的进阶版，这里要求至多有k次交易。

动态规划五步曲：

确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
可以发现规律，除了0以外，奇数就是买入，偶数就是卖出。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围定义为 2 * k + 1 就可以了。
确定递推公式

需要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：
```
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
        dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
        dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
    }
}
```
本题与上一题最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。
dp数组初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0]

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？

其实可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就相应减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0]

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0

可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：
```
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}
```
在初始化的地方同样要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。
确定遍历顺序

由递推公式可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[len - 1][2 * k]即红色部分就是最终结果。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (len == 0) return 0;
        
        // 至多有K笔交易，那么j的范围定义为 2 * k + 1 
        int[][] dp = new int[len][2 * k + 1];
        
        // 初始化
        for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
            // dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
            dp[0][j] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][2 * k];
    }
}

也可以使用三维dp数组来解题

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (len == 0) return 0;

        // [天数][交易次数][是否持有股票]
        int[][][] dp = new int[len][k + 1][2];
        
        // dp数组初始化
        for (int i = 0; i <= k; i++) {
            dp[0][i][1] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                // dp方程, 0表示不持有/卖出, 1表示持有/买入
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k][0];
    }
}