[NOIP2001 提高组] 数的划分

题目描述

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7$，$k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

$1,1,5$;
$1,5,1$;
$5,1,1$.

问有多少种不同的分法。

输入格式

$n,k$ （$6<n\le 200$，$2\le k\le 6$）

输出格式

$1$ 个整数，即不同的分法。

样例 #1

样例输入 #1

7 3

样例输出 #1

4

提示

四种分法为：
$1,1,5$;
$1,2,4$;
$1,3,3$;
$2,2,3$.

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第二题

动态规划的解题思路

• 动态规划，相当于把n个小球放到k个箱子里面，问有几种分法。
• dp[i][j]相当于把第i个小球放到第j个箱子里。
• 状态初始化：dp[i][1] = 1
• 状态转移方程：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]

Code

#include<iostream>

using namespace std;

int n, k;
int dp[210][10];

int main() {
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		dp[i][1] = 1; // 状态初始化
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 2; j <= k; j++) {
			if (i >= j) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
			}
		}
	}
	cout << dp[n][k] << endl;
	return 0;
}

运行结果

DFS

Code

#include<iostream>

using namespace std;

int ans;

void dfs(int m, int k, int n) {
	if (k == 1) {
		ans++;
		return;
	}
	for (int i = m; i <= n / k; i++) {
		dfs(i, k - 1, n - i);
	}
}


int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	dfs(1, k, n);
	cout << ans;
	return 0;
}

运行结果