最新（2024 年 1 月）出版的 SC 技术分析（Techical Analysis of Stock & Commodities）的第 4 条文章给到了 Z-score，原文标题为《Z-score: How to use it in Trading》。今天的笔记，就借此机会，同步推出我们对通过Z-score来构建量化因子的一些观点。

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Z-Score 的计算

Z-score 的计算公式如下：
$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

这里$Z$是 z-score，$X$一般取股价，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，也称波动率。

如果 X服从正态分布，那么将有以下结论：

1. abs(z-score) >= 2 的概率小于 2.3%
2. abs(z-score) >= 3 的概率小于 0.13%

由此可以作为某种反转信号，即一旦z-score超过±2，将有97.7%的概率会回归到±2 以内，也就是股价会发生向均值方向的回归。

在 scipy.stats 包中有 zscore 计算函数，但它是基于我们传入的全部数据的。在因子构建中，我们实际上要计算的是rolling-zscore。因此，我们借用 pandas 中的 rolling 方法来自行计算：

def rolling_zscore(s, win=20):
    ma = s.rolling(window=win).mean()
    std = s.rolling(window=win).std()
    return (s - ma)/std

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因子检验

这篇笔记不打算走完整的流程，我们将随机选择一个标的，计算它最近 250 期的 zscore，把 zscore 小于-2 的点作为买入点，大于 2 的点作为卖出点，进行绘图显示，然后就图的走势，来进行深入讨论：

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可以看出，每一个买入点差不多都是局部的最低点，每一个卖出点也差不多是局部最高点。但是，在下跌趋势中，即使我们在最低点进入了，它的反弹并不能持续多久（或者多大的幅度），而且很难等到 zscore 的卖出点，往往就已经拐头了。

或者说，zscore大于2，是一个卖出的充分但不必要条件；zscore 小于-2, 是一个买入的充分但不必要的条件。它不对未来趋势进行预测，并且在 97.7%的时间里，不会发出交易信号，这样资金利用率也不够。因此，zscore 可以构成一个因子，但不能构成一个策略。但作为因子，它仍然是优秀的，因为它能发出确定、胜率很高的信号。

与布林带的关系

如果你熟悉布林带策略，那么你会发现，z-score 的算法与布林带一模一样。不同的是，布林带的上下轨的数值是均值的±2个标准差，取值的波动可以很大，而z-score的取值是在确定的范围内（-3, +3），具有类似归一化的特征。正因为如此，它可以很方便地当成因子，用在机器学习中。实际上，要做到真正的归一化，我们直接取 z-score 的累积概率就好，它是在 [0,1] 区间分布的，并且当 z-score 为 2 时，累积概率为 0.977.

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警惕黑天鹅

与其它别的因子不一样的地方是，z-score 因子的有效性来源于正态分布的假设。只有股价的波动符合正态分布，我们才能断言价格偏离均值加两个标准差的可能性小于 2.3%。然而，股价的波动并不符合正态分布（指数会更接近一点，但也是更符合广义双曲分布，而不是正态分布）。因此，z-score因子（以及布林带）的理论根基并不牢固。

另外，最重要的一点是，在偏离两个标准差的地方，尽管其概率很小，但也存在一种可能，就是它一旦发生，其后果会比较严重。这就是由 Taleb 提出的所谓黑天鹅效应。在 A 股中，需要注意的是，如果在偏离两个标准差的地方，如果发生了涨跌停，那么我们应该果断放弃 z-score 因子。因为在这种情况下，交易情绪是极端化的。

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Quiz

如果价格的波动并不服从正态分布，或者任何一种已知的分布，我们又该如何把握它的统计学特征呢？

举例来说，如果有这样一个问题，今天沪指已经下跌了4%，依据过去1000个交易日的统计数据，它继续下跌的概率是多少，你应该如何回答这个问题？能够正确地回答这个问题的人，才能抓住加速赶底、或者因意外事件错误下跌的机会。

提示：这是我们在课程中，用来引出PDF/CDF概念的一个问题。

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