七、2023年12月GESP C++(Python)七级编程题

2023年12月GESP Python最高六级，但C++与Python同级编程题相同。本篇引用2023年12月GESPC++七级编程题，用Python实现。

【七级编程题1】

【试题名称】：商品交易

时间限制：1.0 s

内存限制：128.0 MB

【问题描述】

市场上共有N种商品，编号从0至N-1，其中，第i种商品价值vi元。

现在共有M个商人，编号从0至M-1。在第j个商人这，你可以使用第xj种商品交换第yj种商品。每个商人都会按照商品价值进行交易，具体来说，如果vxj>vyj，他将会付给你vyj-vxj元钱；否则，那么你需要付给商人vxj-vyj元钱。除此之外，每次交易商人还会收取1元作为手续费，不论交易商品的价值孰高孰低。

你现在拥有商品a，并希望通过一些交换来获得商品b。请问你至少要花费多少钱？(当然，这个最小花费也可能是负数，这表示你可以在完成目标的同时赚取一些钱。)

【输入描述】

第一行四个整数N,M,a,b，分别表示商品的数量、商人的数量、你持有的商品以及你希望获得的商品。保证0≤a,b≤N，保证a≠b。

第二行N个用单个空格隔开的正整数v0,v1,…,vN-1，依次表示每种商品的价值。保证1≤vi≤10⁹。

接下来M行，每行两个整数xj,yj，表示第j个商人愿意使用第xj种商品交换第yj种商品。保证0≤xj,yj≤N， 保证xj≠yj。

【输出描述】

输出一行一个整数，表示最少的花费。特别地，如果无法通过交换换取商品b，请输出No solution

【数据规模】

对于30%的测试点，保证N≤10，M≤20。

对于70%的测试点，保证N≤10³，M≤10⁴。

对于100%的测试点，保证N≤10⁵，M≤2×10⁵。

【分析】

用bfs算法计算最短路径(交换次数)，设交换k次。价格为v0,v1,…,vk，其中v0为源价格va，vk为目标价格vb，所需费用为：

fee = k*1+(v1-v0)+(v2-v1)+…+(vk-1-vk-2)+(vk-vk-1) =k+vk-v0=k+vb-va

bfs时间复杂度O(M+N)，2×10⁵+10⁵≤10⁶，不会超时。

【完整代码】

def bfs(src):
    qh = 0
    qt = 1
    queue[qt] = src
    min_dist[src] = 0
    while qh < qt:
        qh += 1
        u = queue[qh]
        for v in edge[u]:
            if min_dist[u] + 1 < min_dist[v]:
                min_dist[v] = min_dist[u] + 1
                qt += 1
                queue[qt] = v


n, m, src, dst = [int(i) for i in input().split()]     # 输入第1行4个参数
val = [int(i) for i in input().split()]                # 输入第2行n个参数，各商品价值
min_dist = [1000000000] * n                            # 10⁹大大于n≤10⁵
queue = [0] * (n + 1)
edge = [[] for i in range(n)]                          # 不能用[]*n，n行空列表
for _ in range(m):
    x, y = [int(i) for i in input().split()]           # m行成对参数
    edge[x].append(y)                                  # y添加到edge的x行
bfs(src)                                               # 广搜求最短距离(交换次数)
if min_dist[dst] > n:                                  # 距离大于n，超过商品数，无法通过交换换取
    print('No solution')
else:
    print(min_dist[dst] - val[src] + val[dst])

【运行结果】

【七级编程题2】

【试题名称】：纸牌游戏

时间限制：1.0 s

内存限制：128.0 MB

【问题描述】

你和小杨在玩一个纸牌游戏。

你和小杨各有3张牌，分别是0、1、2。你们要进行N轮游戏，每轮游戏双方都要出一张牌，并按1战胜0，2战胜1，0战胜2的规则决出胜负。第i轮的胜者可以获得2ai分，败者不得分，如果双方出牌相同，则算平局，二人都可获得ai分(i=1,2,…,N)。

玩了一会后，你们觉得这样太过于单调，于是双方给自己制定了不同的新规则。小杨会在整局游戏开始前确定自己全部n轮的出牌，并将他的全部计划告诉你；而你从第2轮开始，要么继续出上一轮出的牌，要么记一次“换牌”。游戏结束时，你换了t次牌，就要额外扣b1+b2+…+bt分。

请计算出你最多能获得多少分。

【输入描述】

第一行一个整数N，表示游戏轮数。

第二行N个用单个空格隔开的非负整数a1,a2,…,aN，意义见题目描述。

第三行N-1个用单个空格隔开的非负整数b1,b2,…,bN-1，表示换牌的罚分，具体含义见题目描述。由于游戏进行N轮，所以你至多可以换N-1次牌。

第四行N个用单个空格隔开的整数c1,c2,…,cN，依次表示小杨从第1轮至第N轮出的牌。保证ci∈0,1,2。

【输出描述】

一行一个整数，表示你最多获得的分数。

【数据规模】

对于30%的测试点，保证N≤15。

对于60%的测试点，保证N≤100。

对于所有测试点，保证N≤1,000；保证0≤ai,bi≤10⁶。

【分析】

由于数据N≤1,000，牌只有3张，采用枚举法也不会超时。本篇采用动态规划算法获得最优解。

时间复杂度O(3N²)，3×1000²<10⁷，不会超时。

【完整代码】

def point(x, y):
    if x == y + 1 or x == y - 2:                  # x赢得分系数2
        return 2
    elif x == y:                                  # 平局得分系数1
        return 1
    else:                                         # x输不得分，得分系数0
        return 0

n = int(input())
dp = [[-2000000000]*(n+1) for i in range(3)]      # 初始化为小于最高罚分：100*10⁶
a = [0]+[int(i) for i in input().split()]         # 数据索引从1开始
b = [0]+[int(i) for i in input().split()]         # 数据索引从1开始
c = [0]+[int(i) for i in input().split()]         # 数据索引从1开始
for j in range(3):
    dp[j][0] = point(j, c[1]) * a[1]              # 计算第1局出0、1、2得分
for i in range(2, n+1):
    for j in range(i-1, -1, -1):                  # 计算第2~n局出0、1、2得分
        for k in range(3):
            cur_score = point(k, c[i]) * a[i]
            dp[k][j] = dp[k][j] + cur_score
            if j > 0:
                for l in range(3):                # 计算换牌得分是否更高
                    dp[k][j] = max(dp[k][j], dp[l][j-1] + cur_score - b[j])
ans = -2000000000                                 # 初始化为小于最高罚分：100*10⁶
for j in range(n):                                # 找最高分即为答案
    for k in range(3):
        ans = max(ans, dp[k][j])
print(ans)                                        # 输出答案

【运行结果】