原理

在图像处理中，当我们对图像进行傅里叶变换，可以得到两个重要的成分：幅度谱和相位谱。这些成分在图像分析和处理中扮演着关键的角色。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将信号从时域（或空间域）转换到频率域的工具。对于图像，这意味着将像素的空间排列转换为表征图像中不同频率成分的形式。

幅度谱

定义：
幅度谱表示图像中各个频率成分的强度。它给出了频率内容的量度，但不包含频率发生的位置信息。

数学表达：
对于傅里叶变换得到的复数结果
F(u,v)，幅度谱 A(u,v) 定义为：

重要性：
幅度谱显示了图像中不同频率的强度，这对于理解图像的结构非常重要。例如，高频成分常常对应于图像中的边缘和细节部分。

相位谱定义：

相位谱包含了频率成分在图像中出现的位置信息。它描述了不同频率分量相对于基频的相位差。

数学表达：
相位谱 Φ(u,v) 定义为：

重要性：
相位谱在图像重建中非常重要。它决定了图像中不同频率成分的相对位置，对图像的视觉内容有重大影响。实验表明，相位信息对于人眼识别图像内容比幅度信息更为关键。

综合应用
在图像处理中，幅度谱和相位谱常常被用于图像分析、图像增强、滤波以及图像压缩等任务。例如，通过修改幅度谱和相位谱，可以实现图像的去噪、锐化等效果。然而，需要注意的是，过度修改这些谱可能会导致图像内容的严重失真。

要求实现下述图像

提示

由函数np.fft.fft2可以得到傅里叶变换系数（复数），用np.abs计算复数幅度谱，用np.angle计算相位谱。分别得到矩形图和妇女图的幅度谱及相位谱后，根据公式F(u,v)=|F(u,v)| e^(jϕ(u,v))可以计算出融合后的傅里叶变换系数。其中|F(u,v)|为幅度谱，ϕ(u,v)为相位谱。最后如上一个实验一样，经过np.fft.ifft2函数做傅里叶反变换得到融合后的图像。

代码实现

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img_rec = cv2.imread('Fig0424.tif', 0)
img_woman = cv2.imread('Fig0427.tif', 0)

dft_rec = np.fft.fft2(img_rec)
amp_rec = np.abs(dft_rec)
pha_rec = np.angle(dft_rec)

dft_woman = np.fft.fft2(img_woman)
amp_woman = np.abs(dft_woman)
pha_woman = np.angle(dft_woman)

# 妇女图的相位和矩形图的幅度融合
img_mix1_dft = np.multiply(amp_rec, np.exp(1j*pha_woman))
img_mix1 = np.abs(np.fft.ifft2(img_mix1_dft))
# 另一种写法
# img_mix1_dft = np.zeros(img_woman.shape, dtype=complex)
# img_mix1_dft.real = amp_rec*np.cos(pha_woman)
# img_mix1_dft.imag = amp_rec*np.sin(pha_woman)
# img_mix1 = np.abs(np.fft.ifft2(img_mix1_dft))

# 矩形图的相位和妇女图的幅度融合
img_mix2_dft = np.multiply(amp_woman, np.exp(1j*pha_rec))
img_mix2 = np.abs(np.fft.ifft2(img_mix2_dft))

img_list = [img_woman, np.fft.fftshift(pha_woman), img_mix1, img_mix2]
img_name_list = ['original', 'phase', 'img_wompha_recamp', 'img_recpha_womamp']

_, axs = plt.subplots(2, 2)

for i in range(2):
    for j in range(2):
        axs[i, j].imshow(img_list[i*2+j], cmap='gray')
        axs[i, j].set_title(img_name_list[i*2+j])
        axs[i, j].axis('off')

plt.savefig('image_phase_amplitude.jpg')
plt.show()

结果展示

代码流程

由函数np.fft.fft2可以得到傅里叶变换系数（复数），用np.abs计算复数幅度谱，用np.angle计算相位谱。分别得到矩形图和妇女图的幅度谱及相位谱后，根据公式F(u,v)=|F(u,v)| e^(jϕ(u,v))可以计算出融合后的傅里叶变换系数。其中|F(u,v)|为幅度谱，ϕ(u,v)为相位谱。最后如上一个实验一样，经过np.fft.ifft2函数做傅里叶反变换得到融合后的图像。对相位谱图像重构后，可以看出图像的基本轮廓，忽略相位信息，所得到的图像与原始图像相比差别很大，幅值谱图中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多。