动态规划理论基础

动态规划的题目由重叠子问题构成，每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

动态规划五步曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动态规划里面递推公式十分重要，但是确定dp数组，初始化，遍历顺序也同样十分重要，一定要严格按照这五步进行，将每一步的思路理清。

做动态规划的题目遇到问题时，最好的方式就是打印出dp数组，看是否和自己推理一致。

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509. 斐波那契数

题目链接：509. 斐波那契数

思路：动态规划五步曲：

1. dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1

4. 从递推公式可以看出，一定是从前向后遍历的。

5. 举例看是否可行，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

   0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

   如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看与推导的数列是否一致。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;             
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

可以发现，只需要维护两个数值，不需要记录整个序列。代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) { // 动态规划
        if (n <= 1) return n;
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = dp1 + dp0;
            dp0 = dp1;
            dp1 = sum;
        }
        return dp1;
    }
}

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70. 爬楼梯

题目链接：70. 爬楼梯

思路：动态规划五步曲

1. dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2. 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

   从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

   首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

   还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

   那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

   在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。

3. 初始化：dp[1] = 1, dp[2] = 2

   题目提示：1 <= n <= 45，所以本题不用考虑dp[0]的初始化！

4. 从递推公式可以看出是从前向后遍历。

5. 举例看是否可行

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        // 1、确定dp数组及下标含义
        // dp[i]代表爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2、确定递推函数
        // dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        // 3、确定初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        // 4、确定遍历顺序
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

本题与斐波那契数相同，可以将空间复杂度从O(n)降为O(1)。

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746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：746. 使用最小花费爬楼梯

思路：动态规划五步曲

1. dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

   题目中说 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯” 也就是相当于 跳到 下标 0 或者 下标 1 是不花费体力的， 从 下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。

2. 递推公式：dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])

   可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i - 1]，一个是dp[i - 2]。

   dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

   dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

   那么究竟是从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？一定是选最小的！

3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 0。我们认为第一步无需支付费用，所以到第一个台阶和到第二个台阶都是0。

4. 遍历顺序为从前到后

5. 举例推导dp数组

   拿cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化

   

   如果代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是否一致。

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];
        // 每次最多走两步，前两个台阶无需支付费用
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[len];
    }
}

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        // 每次最多走两步，前两个台阶无需支付费用
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            int dp_i = Math.min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
            dp0 = dp1;
            dp1 = dp_i;
        }
        return dp1;
    }
}

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