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  • • 问题描述
    • 问题转换
    • 回溯法
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

个人主页：丷从心

系列专栏：回溯法

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问题描述

• 有一批共$n$个集装箱要装上$2$艘载重量分别为$c_1$和$c_2$的轮船，其中集装箱$i$的重量为$w_i$，且$\sum _{i=1}^n{w}_i\le c_1+c_2$
• 是否有一个合理的装载方案可将这$n$个集装箱装上这两艘轮船

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问题转换

• 先将第一艘轮船尽可能装满，然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船
• 装载问题等价于以下特殊的$0-1$背包问题

{ max ⁡ ∑ i = 1 n w i x i s . t . ∑ i = 1 n w i x i ≤ c 1 x i ∈ {   0 , 1   } , 1 ≤ i ≤ n \begin{cases} \max{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}}} \\ s.t. \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq c_{1} \end{cases} \kern{2em} x_{i} \in \set{0 , 1} , 1 \leq i \leq n ⎩ ⎨ ⎧​maxi=1∑n​wi​xi​s.t.i=1∑n​wi​xi​≤c1​​xi​∈{0,1},1≤i≤n

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回溯法

• 用子集树表示解空间，根节点为第$0$层
• 约束函数用于剪去不满足约束条件$\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c_1$的子树
  • 在子集树的第$j$层的结点$Z$处，用$cw$记为当前的装载重量，即$cw=\sum _{i=1}^j{w}_i{x}_i$
  • 当$cw>c_1$时，以结点$Z$为根的子树中所有结点都不满足约束条件，因而该子树中的解均为不可行解，故可将该子树剪去
• 限界函数用于剪去不含最优解的子树，从而改进算法在平均情况下的运行效率
  • 设$Z$是解空间树第$i$层上的当前扩展结点，$cw$是当前载重量，$bestw$是当前最优载重量，$r$是剩余集装箱的重量，即$r=\sum _{j=i+1}^n{w}_j$
  • 定义限界函数为$cw+r$，在以$Z$为根的子树中任一叶节点所相应的重量均不超过$cw+r$，当$cw+r\le bestw$时，可将$Z$的子树剪去
• 当$i=n$时，算法搜索至叶结点，其相应的装载重量为$cw$，如果$cw>bestw$，则表示当前解优于当前最优解，此时更新$bestw$
• 当$i<n$时，当前扩展节点$Z$是子集树中的内部结点，该结点的左儿子表示$x[i+1]=1$的情形，仅当$cw+w[i+1]\le c_1$且满足限界函数时进入左子树，对左子树递归搜索，该结点的右儿子表示$x[i+1]=0$的情形，由于可行结点的右儿子结点总是可行的，因此进入右子树时不需要检查约束函数，只需要检查限界函数

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时间复杂性

• 在每个结点处算法花费$O(n)$时间，子集树中结点个数为$O(2^n)$，故时间复杂性为$O(n{2}^n)$

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Python实现

def backtrack_loading(weights, capacity):
    n = len(weights)
    best_solution = []
    best_value = 0

    def constraint(solution):
        # 约束函数: 检查当前解是否满足容量限制
        total_weight = sum(item for item in solution)

        return total_weight <= capacity

    def bound(solution, index):
        # 限界函数: 计算当前解的重量总和加上剩余物品重量作为上界, 用于剪枝
        total_weight = sum(item for item in solution) + sum(weight for weight in weights[index + 1:])

        return total_weight

    def backtrack(solution, value, index):
        nonlocal best_solution, best_value

        if index == n:
            # 已经遍历完所有物品
            if value > best_value:
                # 如果当前解的重量更大, 更新最优解
                best_solution = solution
                best_value = value

            return

        # 尝试选择当前物品
        weight = weights[index]

        if constraint(solution + [weight]) and bound(solution + [weight], index) >= best_value:
            # 如果满足约束函数, 继续探索下一个物品
            backtrack(solution + [weight], value + weight, index + 1)

        # 尝试不选择当前物品
        if bound(solution, index) >= best_value:
            # 如果当前解的上界仍然可能更好, 继续探索下一个物品
            backtrack(solution, value, index + 1)

    # 开始回溯搜索
    backtrack([], 0, 0)

    return best_solution, best_value


weights = [2, 4, 5, 7]
capacity = 10

best_solution, best_value = backtrack_loading(weights, capacity)

print(f'最优解: {best_solution}')
print(f'最优值: {best_value}')

最优解: [2, 7]
最优值: 9

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