题目

标题和出处

标题：分裂二叉树的最大乘积

出处：1339. 分裂二叉树的最大乘积

难度

6 级

题目描述

要求

给定二叉树的根结点 $\text{root}$，删除一条边将二叉树分裂成两个子树，使得两个子树和的乘积最大。

返回两个子树和的最大乘积。由于答案可能会很大，将结果对 ${\text{10}}^{\text{9}}+\text{7}$ 取模后返回。

注意应该在取模前将答案最大化，不是取模后将答案最大化。

示例

示例 1：

输入：$\text{root = [1,2,3,4,5,6]}$
输出：$\text{110}$
解释：删除红色的边，得到 $\text{2}$ 个子树，和分别为 $\text{11}$ 和 $\text{10}$。它们的乘积是 $\text{110}$（$\text{11}\times \text{10}$）。

示例 2：

输入：$\text{root = [1,null,2,3,4,null,null,5,6]}$
输出：$\text{90}$
解释：移除红色的边，得到 $\text{2}$ 个子树，和分别是 $\text{15}$ 和 $\text{6}$。它们的乘积为 $\text{90}$（$\text{15}\times \text{6}$）。

数据范围

• 树中结点数目在范围 $\text{[2, 5}\times {\text{10}}^{\text{4}}\text{]}$ 内
• $\text{1}\le \text{Node.val}\le {\text{10}}^{\text{4}}$

解法

思路和算法

删除一条边将二叉树分裂成两个子树之后，其中的一个子树为原二叉树的子树，只要知道二叉树的结点值总和与该子树的结点值总和，即可知道另一个子树的结点值总和并计算两个子树和的乘积。

计算二叉树的结点值总和可以使用深度优先搜索实现。二叉树的结点值总和为根结点与每个非空子树和的总和。

首先计算二叉树的结点值总和，然后再次遍历二叉树计算每个子树的结点值总和。对于每个子树，计算该子树的结点值总和与另一个子树的结点值总和的乘积。遍历结束之后即可得到最大乘积。

二叉树的所有结点值总和不会超出 $32$ 位整数范围，但是两个子树和的乘积可能超出 $32$ 位整数范围。为了避免计算最大乘积时溢出，有两种方案，一是使用 $64$ 位整数存储最大乘积，二是利用数学性质维护最大乘积对应的两个子树和。此处使用第二种方案。

假设原二叉树的结点值总和为 $x$，两个子树和分别为 $\frac{x}{2}+y$ 和 $\frac{x}{2}-y$，其中 $\frac{x}{2}>y>0$，两个子树和的乘积是 $(\frac{x}{2}+y)(\frac{x}{2}-y)$。根据平方差公式，有 $(\frac{x}{2}+y)(\frac{x}{2}-y)=\frac{x^2}{4}-y^2$。由于 $x$ 为原二叉树的结点值总和，因此 $x$ 为定值，为了使两个子树的乘积最大，$y$ 应尽量小，即两个子树和之差的绝对值应尽量小。当两个子树和之差的绝对值最小时，两个子树和的乘积最大。

利用数学性质，维护与二叉树的结点值总和的一半最接近的子树和，遍历结束之后即可得到两个子树和的最大乘积。

代码

class Solution {
    static final int MODULO = 1000000007;
    int sum = 0;
    int bestSplitSum = 0;

    public int maxProduct(TreeNode root) {
        sum = getSum(root);
        getSum(root);
        int product = (int) ((long) bestSplitSum * (sum - bestSplitSum) % MODULO);
        return product;
    }

    public int getSum(TreeNode node) {
        int curSum = node.val;
        TreeNode left = node.left, right = node.right;
        if (left != null) {
            curSum += getSum(node.left);
        }
        if (right != null) {
            curSum += getSum(node.right);
        }
        if (sum > 0 && Math.abs(curSum * 2 - sum) < Math.abs(bestSplitSum * 2 - sum)) {
            bestSplitSum = curSum;
        }
        return curSum;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。需要执行两次深度优先搜索，每次深度优先搜索的时间复杂度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。空间复杂度主要是递归调用的栈空间，取决于二叉树的高度，最坏情况下二叉树的高度是 $O(n)$。