【数据结构】递归与分治

news2025/1/18 1:57:42

一.递归

1.递归的概念:

子程序(或函数). 接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己,成为递归。

递归是一种描述问题和解决问题的基本方法。

重复地把问题转化为与原问题相似的新问题,直到问题解决为止。

2.递归的要素:

1)递归边界条件

确定递归到何处终止,也称为递归出口

2)递归模式:

大问题是如何分解为小问题的,也称为递归体

3.递归的特点:

递归:结构清晰,程序容易编写,但需要更多的存储空间和时间。

4.递归与栈:

递归过程都是通过栈来实现的,任何递归算法都可以通过栈来改写为非递归算法。

递归调用,回归求值。

5.递归例子:

1)汉诺塔问题

算法思想:

当n=1时,只需将改圆盘从X移动到Z即可;

$n \geqslant 1$时,将压在n号盘上的n-1个盘子移动到Y,然后把n号盘从X移动到Z上,最后再将Y上的n-1个盘子移动到Z上。

void move(char a,char b){
    cout<<a<<"->"<<b<<endl;
}
void hanoi(int n,char x,char y,char z){
    if(n==1){
        move('x','z');
    }
    else{
        hanoi(n-1,x,z,y);
        move(x,z);
        hanoi(n-1,y,x,z);
    }
}

2)求阶乘 

int fact(int n){
    if(n==0){
        return 1;
    }
    else{
        return n*fact(n-1);
    }
}

二.分治

1.基本思想:

将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破。

1)将要求解的较大规模问题分解为k个更小规模的子问题,对这k个子问题分别求解。

2)如果子问题的规模仍然不够小,则对每个子问题再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。

3)将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。

2.分治法的适用条件:

1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决

2)该问题可以划分为若干个规模较小的问题

3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,子问题之间不包含公共的子问题,如果子问题之间有重复的部分,使用动态规划更好

5)使用分治法最好使子问题的规模大致相同,将一个问题分成大小相等的k个子问题,思想源于平衡子问题。

 4.分治法的复杂性分析:

解递归式:

  • 代换法
  • 主方法
  • 迭代法递归树方法

主方法:

$T(n)=aT(n/b)+f(n)$

其中$a\geqslant 1 $  $b> 1$,a,b均为常数

如果对于某常数$\epsilon> 0$,有$f(n)=O(n^{log_b^{a-\epsilon}})$,则$T(n)=\Theta(n^{log_b^a})$

$f(n)=\Theta(n^{log_b^a})$,则$T(n)=\Theta(n^{log_b^{a}}lgn)$ 

如果对于某常数$\epsilon> 0$,有$f(n)=\Omega(n^{log_b^{a+\epsilon}})$,且对于常数$c< 1$,与足够大的n,有$af(n/b)\leq cf(n)$,则$T(n)=\Theta(f(n))$

例子:

$T(n)=9T(n/3)+n$

时间复杂度:$O(n^2)$

$T(n)=T(2n/3)+1$

$log_{\frac{3}{2}^1}=0$         $n^0=1$

时间复杂度:lgn 

$T(n)=3T(n/4)+n$

时间复杂度:O(n)

习题:

$(1)T(n)=4T(n/3)+n^2$

时间复杂度:$O(n^2)$

$(2)T(n)=4T(n/3)+n$

时间复杂度:$O(n^{log_3^4})$

$(3)T(n)=9T(n/3)+n^2$

时间复杂度:

$O(n^2logn)$

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