DFS与BFS算法总结

news2025/1/18 11:00:29

知识概览

DFS、BFS都可以对整个问题空间进行搜索，搜索的结构都是像一棵树。
DFS会尽可能往深搜，当搜索到叶节点时就会回溯。而BFS每一次只会扩展一层。

DFS与BFS的区别：

搜索方式	数据结构	空间复杂度	性质
DFS	栈	O(h)，其中h为搜索空间树的高度	不具有最短性
BFS	队列	$O(2^h)$ ，其中h为搜索空间树的高度	有“最短路”概念

一、DFS算法（暴搜）

DFS的回溯

例题展示

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/844/

题解

搜索顺序可以看每个位置填哪些数，属于全排列问题。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 10;

int n;
int path[N];
bool st[N];

void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", path[i]);
        puts("");
        return;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!st[i])
        {
            path[u] = i;
            st[i] = true;
            dfs(u + 1);
            st[i] = false;
        }
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    dfs(0);
    
    return 0;
}

DFS的剪枝

例题展示

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/845/

题解一

每一行只能有一个皇后，类似于全排列问题。时间复杂度为 $O(n\cdot n!)$ 。

代码一

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 20;

int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
        puts("");
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i])
        {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';
            
    dfs(0);
    
    return 0;
}

题解二

使用更加原始的搜索方式，搜索效率会低一些。时间复杂度为 $O(2^{n^2})$ 。

代码二

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 20;

int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (y == n) y = 0, x++;
    
    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }
    
    // 不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);
    
    // 放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';
    
    dfs(0, 0, 0);
    
    return 0;
}

二、BFS算法

例题展示

题目链接

走迷宫问题

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/description/846/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 110;

int n, m;
int g[N][N];
int d[N][N];
PII q[N * N];

int bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = {0, 0};
    
    memset(d, -1, sizeof d);
    d[0][0] = 0;
    
    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    
    while (hh <= tt)
    {
        auto t = q[hh++];
        
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1)
            {
                d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
                q[++tt] = {x, y};
            }
        }
    }
    
    return d[n - 1][m - 1];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++)
            cin >> g[i][j];
    
    cout << bfs() << endl;
    
    return 0;
}