给定一个生成序列“The cat sat on the mat”和两个参考序列“The cat is on the mat”“The bird sat on the bush”分别计算BLEU-N和ROUGE-N得分(N=1或N =2时).

• 生成序列 $\mathbf{x}=\text{the cat sat on the mat}$
• 参考序列
  • ${\mathbf{s}}^{(1)}=\text{the cat is on the mat}$
  • ${\mathbf{s}}^{(2)}=\text{the bird sat on the bush}$

一、BLEU-N得分（Bilingual Evaluation Understudy）

1. 定义

  设 𝒙 为模型生成的候选序列，${\mathbf{s}}^{(1)},\cdots ,{\mathbf{s}}^{(\mathbf{K})}$ 为一组参考序列，𝒲 为从生成的候选序列中提取所有N元组合的集合。BLEU算法的精度（Precision）定义如下：

$$P_N(\mathbf{x})=\frac{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))}{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}{c}_w(\mathbf{x})}$$

其中 $c_w(\mathbf{x})$ 是N元组合 $w$ 在生成序列 $\mathbf{x}$中出现的次数，$c_w({\mathbf{s}}^{(k)})$ 是N元组合 $w$ 在参考序列${\mathbf{s}}^{(k)}$ 中出现的次数。

  为了处理生成序列长度短于参考序列的情况，引入长度惩罚因子 $b(\mathbf{x})$：

$$b(\mathbf{x})=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{l}_x>l_s\\ \exp \left(1-\frac{l_s}{l_x}\right)& \text{if }{l}_x\le l_s\end{array}$$

其中 $l_x$ 是生成序列的长度，$l_s$ 是参考序列的最短长度。

  BLEU算法通过计算不同长度的N元组合的精度，并进行几何加权平均，得到最终的BLEU分数：

$$\text{BLEU-N}(\mathbf{x})=b(\mathbf{x})\times \exp \left(\sum _{N=1}^{N^{\prime }}{\alpha }_N\log P_N(\mathbf{x})\right)$$

其中 $N^{\prime }$ 为最长N元组合的长度，${\alpha }_N$ 是不同N元组合的权重，一般设为 $1/N^{\prime }$。

2. 计算

N=1

• 生成序列 $\mathbf{x}=\text{the cat sat on the mat}$
• 参考序列
  • ${\mathbf{s}}^{(1)}=\text{the cat is on the mat}$
  • ${\mathbf{s}}^{(2)}=\text{the bird sat on the bush}$
• $\mathcal{W}=\text{ the, cat, sat, on, mat}$
  • $w=\text{the}$
    • $c_w(\mathbf{x})=2,c_w({\mathbf{s}}^{(1)})=2,c_w({\mathbf{s}}^{(2)})=2$
    • ${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=2$
    • $\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=2$
  • $w=\text{cat}$
    • $c_w(\mathbf{x})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(1)})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(2)})=0$
    • ${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
    • $\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
  • $w=\text{sat}$
    • $c_w(\mathbf{x})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(1)})=0,c_w({\mathbf{s}}^{(2)})=1$
    • ${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
    • $\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
  • $w=\text{on}$
    • $c_w(\mathbf{x})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(1)})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(2)})=1$
    • ${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
    • $\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
  • $w=\text{mat}$
    • $c_w(\mathbf{x})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(1)})=1,c_w({\mathbf{s}}^{(2)})=0$
    • ${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
    • $\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1$
• ${\sum }_{w\in \mathcal{W}}\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=2+1+1+1+1+1=6$
• ${\sum }_{w\in \mathcal{W}}{c}_w(\mathbf{x})=1+1+1+1+1+1=6$
• $P_1(\mathbf{x})=\frac{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))}{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}{c}_w(\mathbf{x})}=\frac{6}{6}=1$

N=2

• 生成序列 $\mathbf{x}=\text{the cat sat on the mat}$
• 参考序列
  • ${\mathbf{s}}^{(1)}=\text{the cat is on the mat}$
  • ${\mathbf{s}}^{(2)}=\text{the bird sat on the bush}$
• $\mathcal{W}=\text{the cat, cat sat, sat on, on the, the mat }$

$w$	$c_w(\mathbf{x})$	$c_w({\mathbf{s}}^{(1)})$	$c_w({\mathbf{s}}^{(2)})$	${\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))$	$\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))$
the cat	1	1	0	1	1
cat sat	1	0	0	0	0
sat on	1	0	1	1	1
on the	1	1	1	1	1
the mat	1	1	0	1	1

• ${\sum }_{w\in \mathcal{W}}\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))=1+0+1+1+1=4$
• ${\sum }_{w\in \mathcal{W}}{c}_w(\mathbf{x})=1+1+1+1+1=5$
• $P_2(\mathbf{x})=\frac{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}\min (c_w(\mathbf{x}),{\max }_{k=1}^K{c}_w({\mathbf{s}}^{(k)}))}{{\sum }_{w\in \mathcal{W}}{c}_w(\mathbf{x})}=\frac{4}{5}$

BLEU-N 得分

  为了处理生成序列长度短于参考序列的情况，引入长度惩罚因子 $b(\mathbf{x})$：$$b(\mathbf{x})=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{l}_x>l_s\\ \exp \left(1-\frac{l_s}{l_x}\right)& \text{if }{l}_x\le l_s\end{array}$$其中 $l_x$ 是生成序列的长度，$l_s$ 是参考序列的最短长度。

  这里$l_x=l_{s^{(1)}}=l_{s^{(2)}}=6$，因此 $b(\mathbf{x})=e^{\left(1-\frac{l_s}{l_x}\right)}=e^0=1$

  BLEU算法通过计算不同长度的N元组合的精度，并进行几何加权平均，得到最终的BLEU分数：
$$\text{BLEU-N}(\mathbf{x})=b(\mathbf{x})\times \exp \left(\frac{1}{N^{\prime }}\sum _{N=1}^{N^{\prime }}{\alpha }_N\log P_N(\mathbf{x})\right)$$其中 $N^{\prime }$ 为最长N元组合的长度，${\alpha }_N$ 是不同N元组合的权重，一般设为 $1/N^{\prime }$。
$$\begin{gathered} \text{BLEU-N}(\mathbf{x})=1\times \exp \left(\sum _{N=1}^2\frac{1}{2}\log P_N(\mathbf{x})\right) \\ =\exp \left(\frac{1}{2}\log P_1(\mathbf{x})+\frac{1}{2}\log P_2(\mathbf{x})\right) \\ =\exp \left(\frac{1}{2}\log 1+\frac{1}{2}\log \frac{4}{5}\right) \\ =\exp \left(0+\log \sqrt{\frac{4}{5}}\right) \\ =\sqrt{\frac{4}{5}} \end{gathered}$$

3. 程序

main_string = 'the cat sat on the mat'
string1 = 'the cat is on the mat'
string2 = 'the bird sat on the bush'

# 计算单词
unique_words = set(main_string.split())
total_occurrences, matching_occurrences = 0, 0

for word in unique_words:
    count_main_string = main_string.count(word)
    total_occurrences += count_main_string
    matching_occurrences += min(count_main_string, max(string1.count(word), string2.count(word)))

similarity_word = matching_occurrences / total_occurrences
print(f"N=1: {similarity_word}")

# 计算双词
word_tokens = main_string.split()
bigrams = set([f"{word_tokens[i]} {word_tokens[i + 1]}" for i in range(len(word_tokens) - 1)])
total_occurrences, matching_occurrences = 0, 0

for bigram in bigrams:
    count_main_string = main_string.count(bigram)
    total_occurrences += count_main_string
    matching_occurrences += min(count_main_string, max(string1.count(bigram), string2.count(bigram)))

similarity_bigram = matching_occurrences / total_occurrences
print(f"N=2: {similarity_bigram}")

输出：

N=1: 1.0
N=2: 0.8