C++数据结构——二叉搜索树详解

news2024/12/26 11:07:06

目录

一，关于二叉搜索树

1.1 概念

1.2 基本结构

二，二叉搜索树接口实现

2.1 插入

2.2 查找

2.3 打印

2.4* 删除

三，二叉搜索树接口递归实现

3.1 查找

3.2 插入

3.3 删除

 四，二叉搜索树的默认成员函数

五，测试代码

六，二叉搜索树的应用

6.1 KeyValue

6.2 改造二叉搜索树

6.3 测试代码

6.3.1 查找单词

6.3.2 统计水果出现的次数

一，关于二叉搜索树

1.1 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，具有以下性质：

①一节点左子树节点的值都小于该节点的值

②一节点右子树的值都大于该节点的值

③一节点的左右子树也是二叉搜索树

简单来说就是左孩子节点比我小，右孩子节点比我大，所以以中序遍历二叉搜索树时打印的结果是从小到大的，所以二叉搜索树又被称为二叉排序树 

1.2 基本结构

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
	{}
};
template<class K> 
class BSTree
{
    typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
    //接口以及默认成员函数实现

private:
	Node* _root = nullptr;
}

二，二叉搜索树接口实现

2.1 插入

二叉搜索树的插入不难，如果数为空直接新增根节点，如果不为空，比我小走左边，比我大走右边，走到空的时候新增节点并完成链接，如下代码和注释

bool Insert(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	//先找到合适的插入位置
	Node* parent = nullptr; //创建parent记录cur上一个节点位置，方便后面链接
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key) //插入的值比我大，走右边
		{
			parent = cur; //记录上一个位置
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key) //插入的值比我小，走左边
		{
			parent = cur; //记录上一个位置
			cur = cur->_left;
		}
		else//插入的值相等，插入失败，搜索二叉树不允许数据相等
		{
			return false;
		}
	}
	//找到插入位置，创建节点开始插入
	cur = new Node(key);
    //cur是局部变量，出了函数作用域后没了，不能直接cur赋值新节点
    //所以需要把前后链接起来，这时候轮到我们的parent登场了
	if (key > parent->_key) //插入的值比父节点大，走右边
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else //插入的值比父节点小，走左边
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

2.2 查找

由于二叉搜索树的性质，每次查找一个树的时候只需要走树的高度次就可以查到了，查找效率非常高，所以二叉搜索树还有个名称叫做二叉查找树

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)//查找的值比我大，走右边
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)//查找的值比我小，走左边
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else//查找成功
		{
			return true;
		}
	}
	return false; //查找失败
}

2.3 打印

打印我们以中序遍历打印，所以我们使用递归实现打印接口，如下代码：

public:
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

2.4* 删除

由于二叉搜索树关联式容器的特殊性质，删除一个节点会改变整个容器的结构与性质，所以每个关联式容器的删除操作需要做非常多的处理

对于二叉搜索树的删除，我们大致分为下面几个情况：

①：删除一个节点，需要让被删除节点的父节点指向被删除节点的左孩子节点

②：删除一个节点，需要让被删除节点的父节点指向被删除节点的右孩子节点

③：在被删除节点的右子树找一个最大值的节点替换两个节点的值，再进行删除（或者找左子树最大的点替换）

如下图 

 具体实现结合下面代码和注释：

bool Erase(const K& key)//难
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else//找到了，开始删除
		{
			// 1、左为空
			if (cur->_left == nullptr)//要删除的节点的左子树为空
			{
				if (cur == _root)//极端情况，要干掉的是根
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left) //cur是父亲的左
					{
						parent->_left = cur->_right;
                        //让父亲的左指向要删除节点的右，因为cur的左为空
					}
					else //cur是父亲的右
					{
						parent->_right = cur->_right; 
                        //让父亲的右指向要删除节点的右，因为cur的左为空
					}
				}
				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			// 2、右为空
			else if (cur->_right == nullptr)//要删除的节点的右子树为空
			{
				if (_root == cur)//极端情况，要干掉的是根
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left) //cur是父亲的左
					{
						parent->_left = cur->_left; 
                        //让父亲的左指向要删除节点的左，因为cur的右为空
					}
					else //cur是父亲的右
					{
						parent->_right = cur->_left;
                        //让父亲的右指向要删除节点的左，因为cur的右为空
					}
				}
				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			// 3、左右都不为空
			else
			{
				// 找右子树最小节点 或 找左子树的最大节点 替代要删除的值
				Node* pminRight = cur;
				Node* minRight = cur->_right;
				//找右树最小节点
				while (minRight->_left)
				{
					pminRight = minRight;
					minRight = minRight->_left;
				}
				cur->_key = minRight->_key;//交换要删除的值
				if (pminRight->_left == minRight)
                {
					pminRight->_left = minRight->_right;
				}
                else //这里看不懂可以结合上面的那个图中的要删除3和8的场景来理解
                {
					pminRight->_right = minRight->_right;
				}
                delete minRight;
			}
			return true;
		}
	}
	//没找到，要删除的值不存在
	return false;
}

三，二叉搜索树接口递归实现

3.1 查找

public:
	bool FindR(const K& key)///递归查找
	{
		return _FindR(_root, key);
	}

private:
	bool _FindR(Node* root,const K& key)//递归查找子函数
	{
		//最多找高度次，O(h) h是树的高度
		if (root == nullptr) return false;
		if (root->_key < key)
			return _FindR(root->_right,key);
		else if (root->_key > key)
			return _FindR(root->_left, key);
		else 
			return true;
	}

3.2 插入

实现插入子递归函数的时候，我们选择用Node* &root做函数参数，原因如下：

插入的目标是插入合适的值，并且和父亲链接起来，比如要在某个节点右边插入一个值，递归时就是 _Insert(root->right,key)，我们用Node* &root之后，这个root就间接代表了上一个节点的right指针，然后我们再root = new Node(key)，相当于生成一个新节点并直接赋值给父节点的右，间接完成链接，如下代码

public:
	bool InsertR(const K& key)//递归插入
	{
		return _InsertR(_root, key);
	}

private:
    bool _InsertR(Node* &root, const K& key)//递归插入
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);//root是形参，所以前面用引用
			return true;
		}
		if (root->_key < key)
			return _InsertR(root->_right, key);
		else if (root->_key > key)
			return _InsertR(root->_left, key);
		else //相等
			return false;
	}

3.3 删除

删除我们和插入同理，用Node* &root做返回值，利用我们上面的思想完成递归实现，如下代码：

public:
    bool EraseR(const K& key)
	{
		return _EraseR(_root, key);
	}

private:
	bool _EraseR(Node* &root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
			return false;

		if (key > root->_key)
			return _EraseR(root->_right, key);
		else if (key < root->_key)
			return _EraseR(root->_left, key);
		else//找到了，开始删除
		{
			Node* del = root;
			if (root->_left == nullptr)
			{
				//间接完成链接，这里的root在递归中可以间接认为是上一个节点的right或left，只是用了一个root引用来代替
				root = root->_right; 
			}
			else if(root->_right == nullptr)
			{
				root = root->_left;
			}
			else
			{
				//找右子树最小（最左）节点替换删除
				Node* min = root->_right;
				while (min->_left)
				{
					min = min->_left;
				}
				swap(root->_key,min->_key);
				return _EraseR(root->_right, key);
			}
			delete del;
			return true;
		}
	}

 四，二叉搜索树的默认成员函数

public:
    //由于我们自己实现了析构函数，所以编译器不会自动生成默认构造
    //这条语句强制编译器生成默认构造函数
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K>& t)//拷贝构造
	{
		_root = _Copy(t._root);
	}
	~BSTree()//析构
	{
		_Destory(_root);
	}
	//t2=t1
	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
	{
		swap(_root, t._root);
		return *this;
	}

private:
	Node* _Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}

		Node* copyRoot = new Node(root->_key);
		copyRoot->_left = _Copy(root->_left);
		copyRoot->_right = _Copy(root->_right);
		return copyRoot;
	}
	void _Destory(Node* &root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		//先删左再删右再删根，后序
		_Destory(root->_left);
		_Destory(root->_right);
		delete root;
		root = nullptr;
	}

五，测试代码

int main()
{
	BSTree<int> t1;
	int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13,4,3,4 };
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(e);
	}
	BSTree<int> t2 = t1;
	t1.InOrder();
	t2.InOrder();
	cout << "----------------" << endl;
	t1.Insert(15);
	t1.Insert(5);
	t2.Erase(8);
	t2.Erase(13);
	cout << t1.Find(15) << endl;
	cout << t2.Find(13) << endl;
	cout << "----------------" << endl;
	t1.InOrder();
	t2.InOrder();
	return 0;
}

六，二叉搜索树的应用

6.1 KeyValue

1，Key模型：只有Key作为关键码，结构中只需存储Key，搜索时只搜索Key

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，方法如下

①以词库中所有单词集合中的每个单词作为Key构建一颗搜索二叉树

②在二叉搜索树中查找该单词的存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误

2，KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。

①比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word,chinese>就构成一种键值对

②再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word,count>就构成一种键值对

6.2 改造二叉搜索树

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K, V>* _left;
	BSTreeNode<K, V>* _right;
	K _key;
	V _value;

	BSTreeNode(const K& key, const V& value)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
		, _value(value)
	{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key, value);
			return true;
		}
		//找空位置插入
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//插入的值比我大，走右边
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//插入的值比我小，走左边
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//插入的值相等，插入失败
			{
				return false;//搜索二叉树不允许数据相等
			}
		}
		cur = new Node(key, value);//cur是局部变量，出了函数作用域后没了，需要把前后链接起来
		//创建parent记录cur上一个节点位置，方便链接
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	Node* Find(const K& key)//允许修改
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//插入的值比我大，走右边
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//插入的值比我小，走左边
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else//插入的值相等,查找成功
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;;
		_InOrder(root->_right);
	}
	bool FindR(const K& key)///递归查找
	{
		return _FindR(_root, key);
	}
	Node* _root = nullptr;
};

6.3 测试代码

6.3.1 查找单词

void TestBSTree1()
{
	BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("sort", "排序");
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("string", "字符串");
	dict.Insert("insert", "插入");
	string str;
	while (cin >> str)
	{
		BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << ":" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "->无此单词" << endl;
		}
	}
}

 

6.3.2 统计水果出现的次数

void TestBSTree2()
{
	string arr[] = { "苹果","苹果", "苹果", "苹果", "苹果", "香蕉","草莓","苹果", };
	BSTree<string, int> countTree;
	for (auto& str : arr)
	{
		//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret)//找到水果名
		{
			ret->_value++;
		}
		else//没有找到水果，该水果第一次出现
		{
			countTree.Insert(str, 1);
		}
	}
	countTree.InOrder();
}

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