多项式回归

• 多项式回归 是非线性回归的一种，之前讨论的线性回归都是直线，而多项式回归则是曲线的回归，它通过引入原始预测变量的高阶项（如平方、立方等）来拟合数据的非线性模式。
• 在多项式回归中，虽然模型对数据的关系是非线性的，但它依然是线性的，因为这种非线性体现在特征变换上，而不是模型的系数和变量之间的关系。这就是为什么多项式回归被视为线性回归的一个特例。
• 例如，一个二次多项式回归模型可以表述为$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+{\beta }_2{x}^2+ϵ$，其中模型对于系数 (\beta) 是线性的，尽管它对于 (x) 是非线性的。

本文基于教程链接数据基于https://github.com/trekhleb/homemade-machine-learning/blob/master/data/non-linear-regression-x-y.csv

首先，我们取到的数据集散点图如下，这种情况下用一条直线来回归则有些不恰当：

所以就需要使用一条多项式来模拟曲线回归。在多项式回归中最重要的就是选择多项式的复杂度，
$$Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X+{\beta }_2{X}^2+{\beta }_3{X}^3+...+{\beta }_n{X}^n+ϵ$$多项式的复杂度(即公式中的n)不宜太低(欠拟合)或过高(过拟合)。如下图就是过低导致的欠拟合：

具体python代码如下：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split #用于划分训练集和测试集。
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures #用于生成多项式特征。
from sklearn.linear_model import LinearRegression #用于执行线性回归。
from sklearn.metrics import mean_squared_error #用于评估模型性能。


# 导入数据
path = 'non-linear-regression-x-y.csv'
data = pd.read_csv(path)

# 分离特征和目标变量
X = data['x'].values.reshape(-1, 1)  # 重塑X为二维数组
y = data['y'].values

"""
绘制数据散点图
"""
# 绘制散点图
plt.scatter(X, y)
plt.xlabel('X Value')
plt.ylabel('Y Value')
plt.title('Scatter Plot of X vs Y')
plt.show()

# 创建多项式特征（例如，二次多项式）
poly = PolynomialFeatures(degree=8)
X_poly = poly.fit_transform(X)

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_poly, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 创建并训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 评估模型
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"均方误差: {mse}")

# 可选：绘制模型拟合结果
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X, y, color='blue')
plt.plot(X, model.predict(poly.fit_transform(X)), color='red')
plt.title('Non-linear Regression')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()

多项式回归的结果如下，本数据集中使用了degree=8(即n=8)均方误差: 107.16818285704927: